Линейное двулучепреломление

Отражение и преломление света на границе раздела двух диэлектриков. Формулы Френеля. Полное отражение и его применение в технике. Волноводы и световоды. Брюстеровское отражение

Отражение и преломление волнового вектора на границе двух диэлектриков даёт плоская электромагнитная волна, которая попадает на плоскую границу раздела двух однородных и изотропных диэлектриков с проницаемостями и (рис.3.4.4). Магнитные проницаемости полагаем равными единице. Кроме распространяющейся во втором диэлектрике плоской преломлённой волны, возникает плоская отражённая волна, распространяющаяся в первом диэлектрике (волновые векторы , соответственно). На границе двух диэлектриков должно выполняться условие

, (3.4.1)

где и - тангенциальные составляющие напряжённости электрического поля в первой и во второй среде соответственно.

Согласно уравнению (3.4.1), циркуляция в случае переменных полей равна интегралу . Поскольку конечно, при предельном переходе интеграл в правой части обращается в нуль.

Пусть вектор , определяющий направление распространения падающей волны, лежит в плоскости чертежа (рис.3.4.4). Направ­ление нормали к поверхности раздела охарактеризуем вектором . Плоскость, в которой лежат векторы и , называется плоскостью падения волны. Возьмем линию пересечения плоско­сти падения с границей раздела диэлектриков в качестве оси . Ось направим перпендикулярно к плоскости раздела диэлектри­ков. Тогда ось будет перпендикулярна к плоскости падения, а вектор окажется направленным вдоль оси (рис.3.4.4). Из соображений симметрии ясно, что век­торы и могут лежать лишь в плоскости падения (среды однородны и изотропны).

Выделим из естественного падающего луча, плоско поляризованную составляющую, в которой направление колебаний векто­ра образует с плоскостью падения произвольный угол. Колеба­ния вектора в плоской электромагнитной волне, распространяю­щейся в направлении вектора , описываются функцией

(при сделанном нами выборе осей координат проекция вектора на ось равна нулю, поэтому в показателе экспоненты отсутствует слагаемое ). За счет выбора начала отсчета мы сделали начальную фазу волны равной нулю.

Напряженности в отраженной и преломленной волнах опреде­ляются аналогичными выражениями:

,

(и - начальные фазы соответствующих волн).

Результирующее поле в первой среде равно

.

Во второй среде

.

Согласно (3.4.1) тангенциальные составляющие этих выражений на поверхности раздела, т. е. при , должны быть одинаковыми, тогда

. (3.4.2)

Для того чтобы условие (3.1.5) выполнялось при любом , не­обходимо равенство всех частот:

.

Частоты отраженной и преломленной волн совпадают с частотой падающей волны.

Для того чтобы условие (3.4.2) выполнялось при любом , необходимо равенство проекций волновых векторов на ось :

. (3.4.3)

Показанные на рис. 3.4.2 углы и называются углом падения, углом отражения и углом преломления. Из рисунка видно, что. Поэтому соотношение (3.4.3) можно написать в виде

.

Векторы и имеют одинаковый модуль, равный ; модуль вектора равен . Следовательно,

.

Отсюда вытекает, что

, (3.4.4)

. (3.4.5)

Полученные нами соотношения выполняются для любой плоско поляризованной составляющей естественного луча. Следовательно, они справедливы и для естественного луча в целом.

Соотношение (3.4.4) выражает закон отражения света, согласно которому отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Соотношение (3.4.5) выражает закон преломления света, который формулируется следующим образом: преломлен­ный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ.

Величина называется относительным показателем преломления второго ве­щества по отношению к первому. Представим эту величину в виде

.

Таким образом, относительный показатель преломления двух ве­ществ равен отношению их абсолютных показателей преломления.

Заменив в формуле отношением , можно представить закон преломления в виде

.

Из этой формулы видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нор­мали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения со­провождается более быстрым ростом угла преломления , и по достижении углом значения

угол становится равным . Угол, определяемый формулой, называется предельным углом.

Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. По мере увеличения угла падения интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в пределах от до , световая волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волны и затем возвращается в первую среду. Это явление называется полным внутренним отражением.

Найдем соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн. Ограничимся случаем нормального падения плоской волны на поверхность раздела однородных и изотропных диэлектриков с показателями преломления и (рис.3.4.5). Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через , и , а магнитную составляющую через , и .

Из соображений симметрии следует, что колебания векторов и происходят вдоль того же направления, что и колебания вектора . Аналогично колебания векторов и происходят вдоль направления вектора .

В данном случае нормальные составляющие векторов и равны нулю. Поэтому тангенциальные составляющие этих векторов совпадают с самими векторами. На рис. 3.4.5изображены мгновенные значения векторов и в падающей, отраженной и преломленной волнах. На рисунке показаны так­же орты , и направлений, вдоль которых распространяются соответствующие волны. Рисунок выполнен в предположении, что() направления векторов и оди­наковы, а векторов и проти­воположны (в этом случае векто­ры , и направлены за чер­теж). Действительные соотноше­ния между направлениями векторов определятся расчетом. Модули векторов и связаны соотношением . Тройка вектора , , образует правовинтовую систему:

. (3.4.6)

Аналогичные соотношения имеют место и для векторов в отраженной и преломленной волнах.

Условия непрерывности тангенциальных составляю­щих векторов и

, (3.4.7)

. (3.4.8)

Значения векторов берутся в непосредственной близости к границе раздела. Заменив в (3.4.8) векторы векторами получим (после сокращения на )

.

Учтя, что , преобразуем последнее соотношение

.

Отсюда

.

Векторы и взаимно перпендикулярны, тогда

. (3.4.9)

Решив совместно уравнения (3.4.7) и (3.4.9), получим

, (3.4.10)

. (3.4.11)

Из формулы (3.4.11) вытекает, что векторы и имеют в каждый момент времени одинаковое направление, колебания в падающей и в прошедшей во вторую среду волнах происходят на границе раздела в одинаковой фазе – при прохождение волны через эту границу фаза не претерпевает скачка.

Из формулы (3.4.10) вытекает, что при направление вектора совпадает с направлением вектора , колебания в падающей и отраженной волнах происходят на гра­нице раздела в одинаковой фазе – фаза волны при отражении не изменяется. Если же , то направление вектора противо­положно направлению , колебания в падающей и отраженной волнах происходят на границе раздела в противофазе - фаза волны при отражении изменяется скачком на . По­лученный результат справедлив и при наклонном падении волны на границу раздела двух прозрачных сред.

Итак, при отражении световой волны от границы раздела среды оптически менее плотной со средой оптически более плотной (при ) фаза колебаний светового вектора претерпевает изменение на . При отражении от границы раздела среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной (при ) такого изменения фазы не происходит.

Подставив в выражение значения (3.4.10) и (3.4.11) для и , придем после несложных преобразований к соотношению

.

Это соотношение получено для мгновенных значений . Аналогич­ное соотношение имеет место и для амплитудных значений свето­вого вектора:

. (3.4.12)

можно трактовать как величину, пропорциональную интенсивности падающей волны, - как величину, пропорциональную интенсивности отраженной волны, - как величину, пропорциональную интенсивности преломленной волны. Таким образом, соотношение (3.4.12) выражает закон сохранения энергии.

Полученные соотношения позволяют найти коэффициент отражения и коэффициент пропускания световой волны (для случая нормального падения на границу раз­дела двух прозрачных сред). Действительно, по определению

.

Подставив в это выражение отношение полученное из (3.4.12), придем к формуле

, (3.4.13)

где - показатель преломления второй среды по отно­шению к первой.

Для коэффициента пропускания получается выражение

.

Сумма , как и должно быть, равна единице.

Отметим, что замена в формуле (3.4.13) на обратную ему величину не изменяет значения . Следовательно, коэффициент отражения поверхности раздела двух данных сред для обоих направлений распространения света имеет одинаковое значение.

Если угол падения света на границу раздела двух диэлектриков отличен от нуля, отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения (на рис.3.4.6 обозначены точками), а в преломленном луче – колебания, параллельные плоскости падения (на рис.3.4.6 – стрелки). Степень поляризации зависит от угла падения. При угле падения таком, что

, (3.4.14)

отраженный луч полностью поляризован, он содержит только колебания, перпендикулярные плоскости падения. Степень поляризации при угле падения достигает наибольшего значения, однако преломленный луч остается частично поляризованным. Выражение (3.4.14) называется законом Брюстера, а угол - углом Брюстера. При падении луча под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны.

С помощью граничных условий для векторов и можно найти соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн (формулы Френеля). С помощью этих формул можно показать, что при произвольном угле падения и соответствующем ему угле преломления коэффициенты отражения линейно-поляризованного света, плоскость поляризации которого перпендикулярна плоскости падения () и параллельна ей (), определяются выражениями:

При падении под углом Брюстера , и коэффициент отражения , т.е. отраженный свет будет полностью линейно поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Идея брюстеровского отражения нашла широкое применение в технике. В газовых лазерах торцы разрядной трубки представляют собой плоскопараллельные стеклянные пластинки, расположенные под углом Брюстера к оси трубки. Излучение, распространяющееся вдоль оси трубки между зеркалами и поляризованное в плоскости падения, многократно проходит через них практически беспрепятственно, не испытывая отражения. В результате из лазера выходит луч, поляризованный в этой плоскости. Другая составляющая излучения, плоскость поляризации которой перпендикулярна плоскости падения, почти полностью удаляется из пучка благодаря отражению.

Явление полного отражения света лежит в основе принципа действия волноводов и световодов. Волновод – это устройство или канал в неоднородной среде, вдоль которого могут распространяться направленные волны. Различают экранированные волноводы, образованные зеркально отражающими стенками, а также системы, в которых поперечная локализация волн обусловлена полным внутренним отражением. Последние могут иметь как резкие (в масштабе длины волны) границы, так и плавные переходы в однородной среде. Особенность волноводов – существование в них дискретного (при очень сильном поглощении) набора нормальных волн (мод), распространяющихся со своими фазовыми и групповыми скоростями. Каждая мода характеризуется предельной частотой, называемой критической. Мода может распространяться и переносить вдоль волновода поток энергии только при частотах, превышающих критическую частоту.

Световод (оптический волновод) – это закрытое устройство для направленной передачи света. В открытом пространстве его передача возможна только в пределах прямой видимости и связана с потерями, обусловленными начальной расходимостью излучения, поглощением и рассеянием в атмосфере. Переход к световодам позволяет значительно уменьшить потери световой энергии при ее передаче на большие расстояния, а также передавать световую энергию по криволинейным трассам.

Наибольшее распространение получили волоконные световоды. Такой световод представляет собой тонкую нить из оптически прозрачного материала, сердцевина которой радиуса а ₁ имеет показатель преломления п ₁, а внешняя оболочка с радиусом а ₂ имеет показатель преломления . Поэтому лучи, распространяющиеся под достаточно малыми углами к оси световода, испытывают полное внутреннее отражение на поверхности раздела сердцевины и оболочки и распространяются только по сердцевине. Величины 2 а ₁ и определяют число таких волн (мод), которые могут распространяться по световоду при заданной длине волны света. Выбирая 2 а ₁ и достаточно малыми, можно добиться, чтобы световод работал в одномодовом режиме.

Рассмотрим распространение луча в среде, изменение показателя преломления которой аксиально-симметрично относительно оси Z (рис. 3.4.5). Луч распространяется в положительном направлении оси Z вблизи оси (параксиальный луч) расстояние от оси Z обозначим r. Запишем закон преломления света на бесконечно тонком слое , в котором показатель преломления изменяется от n (r) до n (r+ ):

.

Здесь вместо угла между подающим лучом и нормалью к поверхности взят угол между падающим лучом и касательной к поверхности, поэтому в законе преломления синус заменен косинусом.

Разлагая в ряд Тейлора по , ограничиваясь линейным по членом и пользуясь тригонометрической формулой для косинуса суммы двух углов, получаем: . В параксиальном приближении можно принять, что . Тогда с точностью до величин первого порядка по находим:

.

Поскольку , в параксиальном приближении можно записать:

.

Тогда уравнение распространения луча:

Волоконные световоды находят широкое применение в системах оптической связи, вычислительной технике, в датчиках различных физических полей и т.д.

Почти все прозрачные кристаллические диэлектрики оптически анизотропны, т.е. оптические свойства света при прохождении через них зависят от направления. Вследствие этого возникает двойное лучепреломление, состоящее в том, что падающий на кристалл пучок света разделяется внутри кристалла на два пучка, распространяющиеся в разных направлениях и с разными скоростями.

Существуют кристаллы одноосные и двуосные. У одноосных кристаллов один из преломленных пучков подчиняется обычному закону преломления (). Его называют обыкновенным и обозначают индексом о. Другой пучок необыкновенный (е), он не подчиняется обычному закону преломления, и даже при нормальном падении светового пучка на поверхность кристалла необыкновенный пучок может отклоняться от нормали. Необыкновенный луч не лежит в плоскости падения.

Наиболее сильно двойное лучепреломление выражено у таких одноосных кристаллов, как кварц, исландский шпат и турмалин.

У одноосных кристаллов имеется направление (рис.3.4.8) – оптическая ось ОО`, вдоль которого обыкновенная и необыкновенная волны распространяются, не разделяясь пространственно и с одинаковой скоростью.

Оптическая ось ОО` кристалла не является какой-то особой прямой линией. Она характеризует лишь избранное направление в кристалле и может быть проведена через произвольную точку кристалла.

Любую плоскость, проходящую через оптическую ось, называют главным сечением или главной плоскостью кристалла.

Обыкновенная и необыкновенная волны линейно поляризованы. Колебания вектора в обыкновенной волне совершаются в направлении, перпендикулярном главному сечению кристалла для обыкновенного луча. Колебания же вектора в необыкновенной волне – в главном сечении кристалла для необыкновенного луча (рис.3.4.8). Из рисунка видно, что плоскости поляризации обеих волн (о и е) взаимно ортогональны.

Оба луча, вышедшие из кристалла, отличаются друг от друга только направлением поляризации, поэтому названия «обыкновенный» и «необыкновенный» имеют смысл только внутри кристалла.

Существуют кристаллы, в которых один из лучей (о или е) поглощается сильнее другого. Это явление называется дихроизмом и присуще минералам сложного состава (турмалин).

Рассмотрим физическую природу двойного лучепреломления. Особенности распространения света в среде определяются интерференцией первичной и вторичной волн, излучаемых молекулами вещества в результате их электронной поляризации под действием электрического поля световой волны. Поэтому оптические свойства среды полностью характеризуется электрическими свойствами молекул (атомов, ионов), их взаимным расположением и взаимодействием друг с другом. Если молекулы электрически изотропны, то их свойства (поляризуемость) не зависят от направления; если анизотропны - зависят.

Оптическая анизотропия кристалла может быть обусловлена как электрической анизотропией образующих его частиц, так и анизотропией поля сил взаимодействия между частицами. Анизотропность этого поля зависит от степени симметрии решётки кристалла. Изотропны только кристаллы, имеющие кубическую решётку (например, NaCl).

Будем рассматривать кристалл как однородную среду с электрической поляризуемостью χ_e и относительной диэлектрической проницаемостью =1+χ_e. Значения и χ_e неодинаковы в различных направлениях, поэтому оптическая анизотропия немагнитных кристаллов является следствием анизотропии их относительной диэлектрической проницаемости. Рассмотрим оптически однородную среду, которая не поглощает электромагнитные волны и оптически неактивна. Из точки О (рис. 3.4.9) по всем направлениям проведём радиусы-векторы , где - значение диэлектрической проницаемости в данном направлении. Поверхность, проходящая через концы радиусов - векторов , имеет форму эллипсоида и называется оптической индикатрисой среды. Оси симметрии этого эллипсоида взаимно перпендикулярны и определяют три главных направления в среде. Уравнение оптической индикатрисы: x ² / _x + y ² / _y + z ² / _z =1, _x, _y, _z - значения вдоль главных направлений, они называются главными значениями диэлектрической проницаемости среды. Если _x= _y= _z, то значения одинаковы по всем направлениям, среда изотропна. Анизотропный кристалл, у которого _z= _y= _x, называется двуосным. Если _x= _y= _z - одноосный кристалл, ОХ - оптическая ось, вдоль любого направления, перпендикулярного к ОХ, значения одинаковы. Одноосный кристалл оптически положительный, если _x> _y= _z, и оптически отрицательный, если _x<_y=_z.

В изотропных средах вектор электрического смещения совпадает с вектором напряженности электрического поля по направлению и связан с ним соотношением . В анизотропных средах векторы и не совпадают, при этом D_x= _{x 0} Е_x; D_y= _{y 0} E_y; D_z= _{z 0} E_{z ,} т.е. совпадает с по направлению тогда, когда параллелен одному из главных направлений, например,

D= _{x 0} E,если E_y=E_z =0;

D= _{y 0}E, если E_x=E_y =0;

D= _{z 0} E, если E_y=E_x =0.

Линейно поляризованная плоская монохроматическая волна в анизотропной среде характеризуется двумя тройками векторов: () и (). Векторы и лежат в одной плоскости, перпендикулярной вектору , вектор - скорость распространения волновой поверхности вдоль нормали к ней, .Скорость называется нормальной скоростью волны. Скорость - лучевая скорость волны, она совпадает по направлению с вектором Пойтинга и равна скорости переноса энергии волной, причем , где α- угол между векторами и . Скорость зависит от в направлении вектора :

где n - абсолютный показатель преломления среды для волны с заданным направлением вектора .

Если совпадает с одним из главных направлений, то луч совпадает с нормалью к фронту волны, а лучевая скорость волны равна фазовой:

где - главные значения показателя преломления анизотропной среды.

В анизотропном кристалле всякая плоская монохроматическая волна распадается на две плоские волны (обыкновенную и необыкновенную), которые линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях и обладают различными нормальными и лучевыми скоростями. В обыкновенной волне вектор перпендикулярен к оптической оси кристалла и к направлению единичного вектора нормали к фронту волны. Нормальная скорость этой волны , где показатель преломления кристалла для обыкновенной волны. В одноосном кристалле любое направление, перпендикулярное к оптической оси, является главным, поэтому в обыкновенной волне векторы и взаимно параллельны, и обыкновенный луч совпадает с нормалью к фронту волны, лучевая скорость , является показателем преломления кристалла для обыкновенного луча. Т.е. обыкновенная волна распространяется в анизотропной среде так же, как в изотропной, поэтому она называется обыкновенной.

В необыкновенной волне вектор перпендикулярен к и , т.е лежит в плоскости, проходящей через оптическую ось и нормаль . Нормальная скорость этой волны , ее модуль , где n_e - показатель преломления кристалла для необыкновенной волны, он зависит от направления нормали .

Плоскость, проходящая через луч и пересекающую его оптическую ось кристалла, называют главной плоскостью одноосного кристалла для этого луча. Обыкновенный луч поляризован в главной плоскости (перпендикулярен к этой плоскости), а необыкновенный луч поляризован в плоскости, перпендикулярной к главной плоскости (вектор лежит в главной плоскости).

Лучевая скорость для необыкновенного луча . Здесь α- угол между векторами и .

Лучевые скорости и называются скоростями распространения обыкновенного и необыкновенного лучей.

Различие в величинах и обуславливает двойное лучепреломление света в одноосном кристалле.

Двойное лучепреломление отсутствует, когда свет падает нормально на плоскую поверхность кристалла, перпендикулярную к его оптической оси – вдоль оптической оси обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются с одинаковыми скоростями.

В двуосных кристаллах скорости распространения обоих лучей зависят от направления распространения в кристалле, поэтому оба луча являются необыкновенными. Вдоль каждой из оптических осей кристалла двойное лучепреломление отсутствует.

Дата добавления: 2013-12-14