Критерии устойчивости

Признаки, позволяющие установить устойчивость САР без решения дифференциального уравнения, называются критериями устойчивости.

Для определения устойчивости системы чаще других примешь ются алгебраические критерии Раусса — Гурвица и частотные критерии Найквиста и Михайлова. Алгебраические критерии удобны при проверке устойчивости систем, описываемых дифференциальными уравнениями до пятого порядка. Для систем, описываемых уравнениями высших порядков, целесообразно применять частотные критерии.

Алгебраические критерии устойчивости. Алгебраические критерии основаны на анализе коэффициентов характеристического уравнения САР. В алгебраическом критерии Гурвица используют­ся матричные методы вычислений. Критерий формулируется так: система будет устойчивой, если все операторы, составленные из ко­эффициентов характеристического уравнения, будут положительными.

Для часто встречающихся на практике конкретных случаев мож­но вывести условия устойчивости по критерию Гурвица. Как известно, условием отрицательности вещественных корней уравнений первого порядка и отрицательности вещественных частей корней уравнения второго порядка является требование положительности всех коэффициентов соответствующего характеристического уравнения. Так как в этом случае значения коэффициентов могуг быть любыми положительными числами, то такие системы называются абсолютно устойчивыми. Применение критерия Гурвица к таким уравнениям крайне просто и выглядит следующим образом.

Система первого порядка. Характеристическое уравнение системы первого порядка имеет вид а_хр + а₀ = 0. Условия устойчивости системы: а_о> 0; а_х > 0.

Система второго порядка. Характеристическое уравнение системы второго порядка имеет вид: а₂р² + а_хр + а₀ = 0. Условия устойчивости системы: а₀>0;я₁>0иа₂^>0.

Система третьего порядка. Характеристическое уравнение сис­темы третьего порядка имеет вид: а_гр^ъ + а₂р² + а_хр + я₀ = 0. Условия устойчивости системы: а₀> 0; а_{ > 0; а₂> 0; д₃> 0; а₂ = а_{а₂- а_оа^> 0.

Следовательно, для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы были положительными все коэффициенты характеристического уравнения и определитель второго порядка.

Частотные критерии устойчивости. Частотные критерии основаны на анализе частотных характеристик САР.

Михайловым было показано, что о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения САР можно судить по годографу функции w(jm). Решение вопроса об устойчивости САР по методу Михайлова сводится к построению годографа характери-врического полинома для замкнутой системы, в котором произве-вна замена оператора насоса. Критерий Михайлова формулируется следующим образом: для устойчивой САР необходимо, чтобы годограф при изменении частоты от 0 до 10 начинался в точке на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости и, вращаясь против часовой стрелки, повернулся на угол пп/2, последовательно все п квадрантов комплексной плоскости, где щ— степень характеристического полинома исследуемой системы.

если годограф Михайлова проходит через начало координат, но система находится на гране устойчивости.

критерий Найквиста основан на построении амплитудно-фа-ньвой характеристики (афх) разомкнутой системы при измене-вии частоты со от 0 до 10. Исследование разомкнутой системы, чем замкнутой и, кроме того, его можно произвести экспе­риментально. Методика оценки устойчивости заключается в построении годографа амплитудно-фазовой характеристики (афчх). I критерий Найквиста формулируется следующим образом: САР устойчива в замкнутом состоянии, если годограф разомкнутой вистемы не охватывает точку на комплексной плоскости с координатами (-1, j0).

Физическое толкование критерия Найквиста. Представим себе некоторую САР. При x(t) = 0 и отрицательной обрат­ной связи ах = x(t) - y(t) = -y(t), т.е. обратная связь обеспечивает выдачу на вход сигнала, фаза которого (речь идет о гармоническом процессе) обратна фазе выходного сигнала. Тогда при условии, что на частоте среза со_ср сигнал wjw_cp = -1 = -e^jn, входной и выходной сигналы имеют одинаковые амплитуды, но сдвинуты по фазе на 180°, т. е. на л радиан. таким образом, возникшее колебание будет существовать без изменения амплитуды. В самом деле, сигнал лишь дважды смещается по фазе, каждый раз на 180°; результирующий сдвиг на входе системы равен нулю, ослабления i амплитуды нет.

Очевидно, что годограф разомкнутой системы на частоте со_ср пересекает ось действительных величин в точке (-1, у'0). Когда модуль комплексного коэффициента на частоте, где фазовый сдвиг i равен 180°, больше единицы, процесс носит расходящийся характер, т.е. амплитуда выходного колебания непрерывно растет.

Дата добавления: 2013-12-13