Динамическая реакция связи возникает за счёт движения тела с ускорением

Реакция связи при произвольном движении тела может быть представлена как сумма статической и динамической реакций.

Из примера ясно, что для определения динамических реакций внешние силы можно не учитывать, и считать, что точки тела движутся с ускорениями (которые, конечно, зависят от внешних сил!).

4.2 Уравнения для определения динамических реакций опор вращающегося тела

Рассмотрим тело, вращающееся вокруг неподвижной оси под действием приложенных сил. Требуется найти закон вращения тела и определить динамические реакции опор А и В, которыми закреплена ось вращения тела. Будем предполагать, что в точке А установлен подпятник, а в точке В – шарнир.

Систему координат выберем с началом в подпятнике, и будем считать, что оси вращаются вместе с телом. Центр масс тела расположен в точке С. Он не лежит на оси вращения.

Т.к. нужно определить только динамические реакции, то внешние силы учтём лишь при вычислении момента относительно оси вращения z.

Для решения задачи применим теорему о движении центра масс

и теорему об изменении кинетического момента

Т.к. оси Axyz – это подвижные оси, то для вычисления производных используем формулу Бура:

Подставив эти выражения в (19) и (20) и проектируя на оси координат, получим уравнения

Уравнения (21) – (26) позволяют решить вторую задачу динамики (определить закон вращения тела) и найти динамические реакции опор.

Процесс решения состоит в следующем:

а) интегрируя уравнение (26) при заданных начальных условиях, находим закон вращения тела

а, следовательно, будем знать

(, впрочем, можно найти сразу из (26));

б) подставив (28) в равенства (25) и (24), найдём, соответственно,;

г) наконец подставив (28), в (21), (22), определим .

Равенство (23) означает, что при закреплении оси вращения с помощью подпятника и шарнира, динамической реакции подпятника вдоль оси вращения никогда не возникает.

Таким образом, решается вопрос об определении динамических реакций опор вращающегося тела. Статические реакции опор могут быть найдены из условий равновесия тела

4.3 Условия равенства нулю динамических реакций опор вращающегося тела

Динамические реакции могут в десятки и сотни раз превышать статические. Поэтому возникает вопрос, как уменьшить значения динамических реакций, а, в идеальном случае, сделать их равными нулю?

Предположим, что при произвольном законе вращения тела (т.е. при произвольных ) все динамические реакции равны нулю. Тогда из (21), (22), (24), (25) получим

Системы уравнений (29), (30) являются линейными однородными системами относительно переменных и имеют, по предположению, не нулевые решения. Следовательно, их определители должны быть равны нулю. Получаем

Из (31) следует, что центр масс должен лежать на оси вращения (), т.е. ось вращения должна быть центральной осью.

Из (32) следует, что центробежные моменты инерции , т.е. ось вращения должна быть главной осью инерции тела.

Объединяя оба утверждения, можем заключить:

для того, чтобы при любом законе вращения тела динамические реакции опор были равны нулю необходимо и достаточно, чтобы ось вращения тела совпадала с его главной центральной осью инерции.

Дата добавления: 2013-12-14