Векторного простору над полем

Поняття, приклади і найпростіші властивості

Тема: Скінченновимірні векторні простори

Лекція 1

План лекції:

1. Поняття, приклади і властивості векторного простору над полем

2. Лінійна залежність системи векторів.

3. Ранг матриці.

4. Базис і розмірність векторного простору.

5. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом.

6. Ізоморфізм векторних просторів.

7. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (загальна теорія).

8. Підпростори векторного простору.

У різних розділах математики лінійні операції додавання і множення на число виконуються не тільки над векторами, а й над різними іншими об’єктами: матрицями, функціями, многочленами, тощо. Можливість підходити до цих об’єктів із загальної точки зору дає поняття векторного (лінійного) простору.

Нехай – непорожня множина елементів будь-якої природи, які будемо позначати і нехай – деяке довільне числове поле, елементи якого будемо позначати. Визначимо в множині операцію додавання елементів: і операцію множення елемента на число з поля:.

Означення. Множина називається векторним (лінійним) простором, якщо в визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля, причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):

1. – асоціативність додавання;

2. – комутативність додавання;

3.: – існування нульового елемента;

4.: – існування протилежного елемента;

5. – асоціативність множення на число;

6..

7. – дистрибутивність відносно додавання чисел;

8. – дистрибутивність відносно додавання елементів;

Елементи векторного простору називаються векторами, елемент називається нульовим вектором (нуль-вектором).

Будемо позначати векторний простір, визначений на множині через або. Якщо поле є поле дійсних чисел, то векторний простір називається дійсним векторним простором; якщо поле є полем комплексних чисел, то векторний простір називається комплексним векторним простором.

Приклади векторних просторів:

1) Множина дійсних чисел із звичайними операціями додавання і множення є дійсним векторним простором. Множина комплексних чисел відносно операцій додавання комплексних чисел і множення комплексних чисел на дійсні числа є дійсний векторний простір.

2) Множина всіх геометричних векторів звичайного тривимірного простору з початком в точці відносно операцій додавання векторів і множення векторів на число утворює дійсний векторний простір.

Множина всіх векторів деякої площини і деякої прямої відносно операцій додавання векторів і множення векторів на число також є дійсними векторними просторами. Позначимо їх відповідно і.

3) Сукупність всіх матриць розмірності з дійсними елементами утворює дійсний векторний простір відносно операцій додавання матриць і множення матриць на число.

4) Множина всіх векторів – розв’язків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з коефіцієнтами з поля відносно операцій додавання векторів і множення вектора на число з поля.

5) - вимірний арифметичний (координатний) простір над полем – множина всіх -вимірних числових векторів з компонентами з поля, тобто впорядкованих наборів з чисел з поля разом з операціями додавання векторів і множення вектора на число з поля, для яких виконуються всі властивості лінійних дій над векторами.

6) Сукупність всіх многочленів від змінної степеня не вище з дійсними коефіцієнтами відносно операцій додавання многочленів і множення многочленів на число утворює дійсний векторний простір.

7) Сукупність всіх неперервних функцій дійсної змінної, які визначені на деякому проміжку, утворює дійсний векторний простір відносно операцій додавання функцій і множення функцій на число. Роль нуль-вектора відіграє функція, яка тотожно дорівнює нулю.

З означення безпосередньо випливають наступні

Найпростіші властивості векторного простору:

1) Єдиність нульового вектора. В векторному просторі існує єдиний нульовий вектор, тобто такий, що:. (аксіома 3)

2) Єдиність протилежного елемента. В векторному просторі для будь-якого вектора існує єдиний вектор такий, що. (аксіома 4)

3) Для будь-якого вектора.

4) Для будь-якого числа і.

5) Якщо добуток, то або, або.

6) Для будь-якого вектора елемент є протилежним до.

Дата добавления: 2013-12-14