Приклади ізоморфних просторів

1) Дійсний векторний простір ізоморфний дійсному 3-вимірному арифметичному простору, оскільки кожному вектору можна поставити у взаємно однозначну відповідність рядок його координат в деякому фіксованому базисі. При такій відповідності будуть виконуватися співвідношення:

,

.

2) Дійсний векторний простір квадратних матриць другого порядку над полем із звичайними операціями додавання матриць і множення матриць на елементи з поля ізоморфний дійсному 4-вимірному арифметичному простору, оскільки кожній матриці можна поставити у взаємно однозначну відповідність вектор-рядок і при цьому будуть виконуватися співвідношення:

.

3) Векторний простір всіх многочленів від змінної степеня з дійсними коефіцієнтами відносно операцій додавання многочленів і множення многочленів на число ізоморфний дійсному 3-вимірному арифметичному простору оскільки кожному многочлену можна поставити у взаємно однозначну відповідність вектор-рядок і при цьому будуть виконуватися співвідношення:

,

.

З означення ізоморфізму векторних просторіві безпосередньо випливають наступні

Властивості ізоморфізму векторних просторів:

При ізоморфізмі векторних просторів і

1..

2..

3. Якщо векторам відповідають вектори, то лінійній комбінації з довільними коефіцієнтами відповідає лінійна комбінація з тими самими коефіцієнтами.

4. Кожному базису в відповідає базис в.

Теорема (про ізоморфні векторні простори). Векторний простір, ізоморфний скінченновимірному векторному простору, є скінченновимірним і має ту ж саму розмірність, що й. Будь-які два скінченновимірних векторних простора і однієї розмірності ізоморфні.

Наслідок. Всі векторні простори над одним й тим самим полем однакової розмірності ізоморфні -вимірному арифметичному простору над полем.

7. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (загальна теорія)

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь

(3)

з матрицею

і розширеною матрицею

.

Систему (3) можна записати у вигляді

(4)

Згадаємо, що розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3) називається впорядкований набір з чисел такий, що після заміни невідомих числами кожне з рівнянь системи (3) перетворюється на тотожність. Система, що має хоча б один розв’язок, називається сумісною, а якщо система не має жодного розв’язку, вона називається несумісною. Дві системи з одними ф тими самими невідомими, які мають одну й ту саму множину розв’язків, називаються рівносильними (еквівалентними).

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (3) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці системи.

Дата добавления: 2013-12-14