Доведення. Доведення теореми складатиметься з двох частин

Доведення теореми складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (IV). Нехай Т₁ÌХ - це множина розв’язків нерівності (І), а Т₄ÌХ - це множина розв’язків нерівності (IV). Виберемо в множині Т₁ довільне х₀ÎТ₁ і підставимо у нерівність (І). Після цього одержимо істинну числову нерівність f(х₀)>g(х₀). Підставивши х₀ у вираз j(х), ми одержимо числовий вираз j(х₀), який набуває від’ємних значень. Помножимо обидві частини істинної числової нерівності f(х₀)>g(х₀) на вираз j(х₀), що приймає лише від’ємних значень. Тоді, згідно властивостей істинних числових нерівностей, нерівність f(х₀)·j(х₀)<g(х₀)·j(х₀) буде істинною числовою нерівністю. Ми можемо одержати її з нерівності (IV), замінивши в ній х на х₀. Це означає, що х₀ є розв’язком нерівності (IV), тобто х₀ÎТ₄. Оскільки значення х₀ÎТ₁ ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента цієї множини. А це означає, що кожен елемент множини Т₁, тобто кожен розв’язок нерівності (І), є елементом множини Т₄, тобто є розв’язком нерівності (ІУ). Отже, на основі означення підмножини маємо: Т₁ÌТ₄. Першу частину теореми доведено.

У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (IV) є розв’язком нерівності (І). Виберемо довільне y₀єТ₄ÌХ і підставимо його у нерівність (IV). Тоді одержимо істинну числову нерівність f(y₀)·j(y₀)<g(y₀)·j(y₀). Оскільки j(y₀) - це числовий вираз, що приймає від’ємних значень для всіх у₀ÎХ. Поділивши на нього обидві частини нерівності f(y₀)·j(y₀)<g(y₀)·j(y₀), ми одержимо істинну числову нерівність f(y₀)>g(y₀) (Чому?). Цю нерівність f(y₀)>g(y₀) можна одержати з нерівності (І), замінивши х на y₀. Отже, y₀ є розв’язком нерівності (І). Оскільки y₀єТ₄ ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елементу y₀єТ₄. Це означає, що кожен елемент множини Т₄ є елементом множини Т₁, тобто Т₄ÌТ₁.

Таким чином, у першій частині ми довели, що Т₁ÌТ₄., а в другій – що Т₄ÌТ₁. На основі означення рівності множин це означає, що Т₁=Т₄. Отже, ми показали, що множини розв’язків нерівностей (І) і (ІV) співпадають. Оскільки вони задані на одній множині Х, то ці нерівності рівносильні. Теорему доведено повністю.

Дата добавления: 2013-12-14