Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве

V. Метод координат в пространстве

1⁰.

Определение 1. 1) Аффинной системой координат или аффинным репером в пространстве называется совокупность некоторой точки и некоторого базиса. Точка называется началом координат, векторы – координатными векторами; 2) аффинная система координат называется правой, если связанный с ней базис – правый, и левой, если базис – левый; 3) оси, проходящие через начало координат и сонаправленные с векторами, соответственно осью абсцисс, ординат, аппликат или координатными осями. Три плоскости, каждая из которых проходит через две координатные оси, называются координатными плоскостями. Восемь частей, на которые координатные плоскости делят пространство, называются октантами.

Обозначения. Ось абсцисс - или; ось ординат - или;

ось аппликат - или.

Координатные плоскости: или; или; или.

Определение 2. Пусть = - аффинная система координат, а – произвольная точка пространства. Вектор называется радиус – вектором точки (относительно точки). Координаты вектора в базисе называются аффинными координатами точки в данной системе координат. При этом число называется абсциссой, число - ординатой, число - аппликатой точки.

Обозначение.. (1)

По аналогии с планиметрией справедливо утверждение: если в пространстве задана аффинная система координат, то этим установлена биекция между точками пространства и упорядоченными тройками действительных чисел.

Пусть аппликата точки равна нулю: = 0. Тогда из равенства (1) получаем:.

По определению линейной зависимости векторов вектора,, - линейно зависимы, а значит, компланарны. Тогда точка лежит в плоскости. Из предыдущего равенства следует, что в этой плоскости в системе координат точка имеет координаты.

Аналогично, если = 0, то, а если = 0, то.

Отсюда следует также, что для любой точки оси абсцисс = = 0, для любой точки оси ординат = = 0, для любой точки оси аппликат = = 0.

Начало координат имеет три нулевые координаты -.

Способ построения точки по её координатам:

1) От начала координат откладываем вектор;

2) От точки откладываем вектор;

3) От точки откладываем вектор.

По правилу многоугольника имеем:

, (2)

то есть – искомая точка

Ломаная называется координатной ломаной точки. Итак, для построения точки достаточно построить её координатную ломаную.

Определение 3. Пространство называется ориентированным, если в нем выбрана какого-либо вида аффинная система координат (правая или левая).

Дата добавления: 2013-12-14