Параметрические уравнения плоскости

Уравнение плоскости в отрезках на осях

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Специальные виды уравнений плоскости

Пусть три точки общего положения (не лежащие на одной прямой). Как известно из школьного курса геометрии, эти точки определяю единственную плоскость α.

Обозначим M(x y z)- произвольную точку плоскости, где x, y, z – текущие координаты, и рассмотрим векторы:

(x-; y-; z-);

(-; -; -);

(-; -; -;

Их смешанное произведение равно 0, так как эти векторы компланарны:

()=0.

Имеем:

=0 (1)

Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает все оси координат соответственно в точках A(), B(0;; 0), C(0;0;). Тогда предыдущее уравнение можно записать в виде:

=0 (2)

Уравнение плоскости в отрезках на осях координат:

x/a0 + y/b0 + z/c0 = 1

Пример1. -2y+3z-6=0 привести общее уравнение плоскости к виду в отрезках на осях и изобразить эту плоскость.

x-2y+3z=6,,

.

Плоскость может быть задана некоторой точкой (;) и двумя неколлинеарными векторами (;) и (;), ей параллельными. При этом точка и концы векторов и не лежат на одной прямой, так что плоскость оказывается заданной тремя своими точками общего положения.

Пусть М(х;у;z)- произвольная точка плоскости. В силу коллинеарности векторов,, имеет место разложения:

= +, (3)

где

Так как О = O +, то векторное уравнение плоскости:

О = O + +. (4)

Прейдем к координатам в уравнении (4):

(х;у;z);;); (;); (;).

Окончательно получаем параметрические уравнения плоскости:

(5)

где переменные и - параметры,, R;

Векторы и - направляющие векторы плоскости. Придавая в равенствах (5) переменным и соответствующие значения, будем находить координаты точек плоскости.

Дата добавления: 2013-12-14