Эллипсоид. Общее уравнение поверхности второго порядка

Примеры.

Общее уравнение поверхности второго порядка

VII. Поверхности второго порядка

Определение. Алгебраической поверхностью n-го порядка называется множество точек пространства, имеющее в некоторой аффинной системе координат, в частности, в прямоугольной декартовой системе координат, уравнение вида:

, где - многочлен n-ой степени относительно с действительными коэффициентами.

Можно доказать, что определение поверхности n-го порядка не зависит от выбора системы координат в пространстве, то есть если в какой либо АСК поверхность задаётся уравнением n-ой степени, то и в любой другой АСК она также задаётся уравнением n-ой степени.

1) Алгебраической поверхностью первого порядка является любая плоскость с общим уравнением, где;

2) Алгебраическая поверхность второго порядка имеет уравнение вида:, где хотя бы один из коэффициентов членов второй степени отличен от нуля.

Это уравнение называется общим уравнением поверхности 2-го порядка.

Так же, как и для линии второго порядка на плоскости, можно доказать, что уравнение любой поверхности 2-го порядка с помощью надлежащего выбора системы координат (прямоугольной декартовой) может быть приведено к одному из 17 (семнадцати) простейших видов, которые называются каноническими.

Общую теорию поверхностей второго порядка мы изучать не будем, исследуем свойства этих поверхностей по их каноническим уравнениям.

I. Эллипсоиды

1. Эллипсоид:.

x

y

z

2. Мнимый эллипсоид (пустое множество точек):.

II. Гиперболоиды

3. Однополостный гиперболоид:.

4. Двуполостный гиперболоид:.

III. Параболоиды

5. Эллиптический параболоид:.

6. Гиперболический параболоид:.

IV. Конусы

7. Конус:.

8. Мнимый конус (точка O(0,0,0)):.

V. Цилиндры

9. Эллиптический цилиндр:.

z

y

x

10. Гиперболический цилиндр:.

11. Параболический цилиндр:.

12. Мнимый цилиндр (пустое множество точек):

VI. Пары плоскостей

13. Пара пересекающихся плоскостей:

14. Пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой:

15. Пара различных параллельных плоскостей:

16. Пара совпавших плоскостей:

17. Пара мнимых параллельных плоскостей (пустое множество точек). (Изображения поверхностей 2-го порядка смотреть в учебнике геометрии часть I, глава IX.)

Эллипсоид задаётся своим каноническим уравнением:

. (1)

1. Плоскости, оси и центр симметрии

а) Так как переменная z содержится в уравнении (1) лишь во второй степени, то это уравнение не изменится при замене на.

Следовательно, если точка принадлежит эллипсоиду, то ему также принадлежит и точка.

x

y

z

x

y

Эти точки симметричны относительно плоскости, значит и весь эллипсоид симметричен относительно этой плоскости.

Аналогично, эллипсоид симметричен и относительно плоскостей и.

б) Так как уравнение (1) не изменяется при одновременной замене на и на, то эллипсоид симметричен относительно оси.

Аналогично, эллипсоид симметричен и относительно осей и.

в) Так как уравнение (1) не изменится при одновременной замене на, на на, то эллипсоид симметричен относительно начала координат.

Определение 1. Центр симметрии поверхности второго порядка называется её центром, а её оси симметрии – осями поверхности второго порядка.

Таким образом, эллипсоид с уравнением (1) имеет:

· один центр симметрии – начало координат;

· три оси симметрии – оси,, и;

· три плоскости симметрии – плоскости,,.

2. Вершины

Определение 2. Вершинами поверхности 2-го порядка называются точки пересечения её с осями.

Найдём вершины эллипсоида с уравнением (1).

или, отсюда.

Точки пересечения эллипсоида с осью обозначим:

и.

Аналогично получим точки пересечения эллипсоида с осью:

и.

И осью:

и.

Итак, эллипсоид имеет шесть вершин. Числа называются комре эллипсоида.

3. Главные сечения

Определение 3. Множество точек (кривая линия), получающиеся при пересечении некоторой поверхности (не обязательно 2-го порядка) плоскостью, называется сечением этой поверхности.

Определение 4. Сечения поверхности 2-го порядка её плоскостями симметрии называются её главными сечениями.

Легко видеть, что все главные сечения эллипсоида есть эллипсы:

Сечение плоскостью:

Сечение плоскостью:

Сечение плоскостью:

4. Сечения плоскостями, параллельными плоскостям симметрии

Рассмотрим сечение эллипсоида с уравнением (1) плоскостью α, параллельной плоскости Оху:

(2)

В зависимости от величины h возможны случаи:

а) и плоскости α с уравнением z=h эллипсоид не пересекает.

б) и сечением является либо точка C1(0;0;c), либо точка C2(0;0;-c), то есть, одна из вершин – эллипсоида.

в) и получаем систему уравнений:

(3)

В уравнении (3) положив:, приходим к уравнению эллипса с полуосями а₁ и b₁:

. (4)

Итак, в этом случае в сечении мы получаем эллипс, центр которого лежит на оси Oz в точке D(0;0;h). Легко видеть, что при уменьшении полуоси а₁ и b₁ возрастают и при h=0 имеем: a₁=a, b₁=b – сечение является главным.

Аналогично можно показать, что сечение эллипсоида с уравнением (1) плоскостями x=h или y=h является либо эллипсом, либо точкой – соответствующей вершиной эллипсоида, либо пустым множеством.

Заметим дополнительно, что из уравнения (1) следует, что

Поэтому имеем: -a ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤b, -c ≤ z ≤ c. Отсюда следует, что все точки эллипсоида (кроме его вершин) лежат внутри прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2a, 2b, 2c. Грани его параллельны координатным плоскостям, а вершины эллипсоида служат центрами симметрии этих граней.

Изобразим теперь эллипсоид, используя проведённые выше исследования его формы.

5. Виды эллипсоидов

а) Если все полуоси эллипсоида различны: a≠b≠c, то он называется трёхосным.

б) Если две полуоси эллипсоида равны, например, a=b, то он является поверхностью вращения. Все его сечения, перпендикулярные оси вращения Oz, есть окружности. Эллипсоид называется в этом случае эллипсоидом вращения с осью вращения Oz и имеем каноническое уравнение:

. (5)

в) Если все три оси эллипсоида равны: a=b=c, то он представляет собой сферу с центром в начале координат радиуса r = a:

. (6)

Следовательно, сфера является частным случаем эллипсоида.

Можно показать, что любой трёхосный эллипсоид с уравнением (1) можно получить из некоторой сферы, например, с уравнением (6), с помощью последовательного сжатия к двум взаимно перпендикулярным плоскостям симметрии этой сферы.

Замечание. Эллипсоид с центром O’(x₀;y₀;z₀) и полуосями a, b, c, параллельными осям координат, имеем уравнение: =1.

В частности, сфера радиуса r = a с центром в точке O’(x₀;y₀;z₀) имеем уравнение: +

Дата добавления: 2013-12-14