Декартова система координат

Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть дана кривая АВ, уравнение которой y = f (x), х [ a; b ].

•Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Утверждение. Пусть f (x) С[ a; b ], f ʹ (x) С[ a; b ], тогда кривая АВ имеет длину, равную

. (11)

Доказательство на основе метода интегральных сумм.

1. Точками x ₀= a, x ₁, x ₂, …, x_n = b (x ₀< x ₁< x ₂<…< x_n) отрезок [ a; b ] разбивается на n частей.

2. Пусть данным точкам соответствуют точки M ₀ = A, M ₁,…, M_n = B на кривой АВ.

3. Отрезки M ₀ M ₁, M ₁ M ₂,…, M_{n –1} M_n – хорды, длины которых ∆ L ₁, ∆ L ₂,…,∆ L_n.

4. Линия M ₀ M ₁ M ₂,…, M_{n –1} M_n – ломаная, длина которой

L_n = ∆ L ₁+ ∆ L ₂+…+∆ L_n =.

5. Длина хорды

,

где ∆ x_i = x_i – x_{i –1}, ∆ y_i = f (x_i)– f (x_{i –1}).

По теореме Лагранжа

∆ y_i = f ʹ (с_i)·∆ x_i,

где с_i (x_{i –1}; x_i).

Поэтому

.

6. Длина ломаной M ₀ M ₁ M ₂,…, M_{n –1} M_n:

. (12)

7. Длина кривой АВ:

.

8. ∆ L_i 0 ∆ х_i 0 | ∆ х_i| <∆ L_i;

f ʹ (x) С[ a; b ] С[ a; b ].

Следовательно, существует предел интегральной суммы (12) при max∆ x_i 0:

.

Пусть уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

t [α;β],

где x (t), y (t) С[α;β], xʹ (t), yʹ (t) С[α;β]; x (α)= a, y (β)= b.

Тогда длина кривой АВ:

. (13)

Выражение (13) вытекает из (11) посредством подстановки x = x (t), dx = xʹ (t) dt,.

Пример 4. Найти длину окружности радиуса R.

Решение _▼

.

В соответствии с (11) длина части окружности от точки (R,0) до (0, R):

.

Следовательно

.

Если уравнение окружности задано в параметрической форме

t [0;2π],

то в соответствии с (13):

.

^▲

Дата добавления: 2013-12-13