Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Зауваження





Розглянемо випадок, коли на кінцях стержня задається ненульова температура. Тоді задача має наступну постановку:

 

, ,

П.У. К.У. (6.24)

 

Тут та – сталі температури відповідно на кінцях х=0 та x=l.

У цій задачі з неоднорідними граничними умовами достатньо зробити підстановку:

 

(6.25)

 

яка зведе її до попередньої задачі відносно функції Цю процедуру пропонується виконати студентам самостійно.

Розглянемо ще одну задачу про поширення тепла у стержні.

2) Знайти розподіл температур в стержні, на одному кінці якого весь час підтримується нульова температура, а другий кінець теплоізольвано при довільній початковій умові.

Поставимо задачу:

 

, ,

 

П.У. U(x,0)=φ(x), К.У. (6.26)

 

Зазначимо, що тут не суттєво, який кінець теплоізольовано. Як бачимо, крайові умови однорідні. Розв’яжемо цю задачу за методом Фур’є, згідно якого

 

(6.27)

 

Тоді рівняння теплопровідності:

 

або

Розглянемо рівняння

,

розв’язок якого

Сталі А та В шукаємо із крайових умов:

 

К.У.

 

Розпишемо граничні умови:

 

Очевидно, що тоді

Звідси ,

Отже,

. (6.28)

Розв’яжемо друге рівняння для функції , що одержується з рівняння теплопровідності:

 

.

 

.

 

Розв’язок цього рівняння:

 

.

Враховуючи, що , , отримаємо

 

. (6.29)

 

Отже, маємо і розв’язок даної задачі шукаємо у вигляді:

Поклавши , остаточно будемо мати:

. (6.30)

 

Коефіцієнти визначаються із початкової умови, як у попередній задачі:

 

(6.31)

 

Отже, формули (6.30) і (6.31) дають розв’язок даної задачі.

3) Розв’язати задачу про поширення тепла в стержні, на одному кінці якого стала температура U0, а другий – теплоізольований.

Поставимо задачу:

 

, ,

П.У. U(x,0)=φ(x), К.У.(6.32)

За методом Фур’є крайові умови мають бути нульовими. Тому проведемо заміну

 

 



 

Рівняння теплопровідності:

,

К.У. (6.33)

 

П.У.

 

За методом Фур’є отримаємо

 

(6.34)

 

де

 

Отже, остаточно маємо:

Приклад 6.2 Розв’язати задачу про поширення тепла у стержні довжиною l, на кінцях якого весь час підтримується нульова температура, а початковий розподіл температур задається функцією

 

Поставимо задачу:

, ,

П.У. К.У.

 

Згідно з методом Фур’є ця задача має розв’язок:

 

 

де

Як відомо, система власних функцій є ортогональною на проміжку , тобто

 

коли , і не дорівнює нулю, коли .

Таким чином, усі коефіцієнти проте коефіцієнт Знайдемо його:

 

Тоді розв’язок задачі запишемо так

 

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2013-12-14; Просмотров: 481; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.033 сек.