Функция

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

Теорема. Справедливо разложение

(1)

Доказательство.

1) Вычисление коэффициентов Тейлора в точке .

Так как

то

.

Следовательно, коэффициенты ряда Маклорена

2) Ряд Маклорена имеет вид

~

3) Найдем радиус сходимости

Следовательно, ряд Маклорена сходится абсолютно при всех .

4) Рассмотрим остаточный член ряда в форме Лагранжа: .

В данном случае, так как для всех

5) Определим область, где

.

При любом фиксированном

Следовательно,

Теорема доказана.

Дата добавления: 2013-12-13