Основні властивості невизначеного інтеграла

Невизначений інтеграл та його властивості.

Означення 19.2. Сукупність усіх первісних на деякому проміжку для функції називається невизначеним інтегралом і позначається:

,

(19.7)

Рис. 19.1. До геометричного змісту невизначеного інтеграла

Зауваження 19.1.Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає у тому, що його вираз (19.7) визначає однопараметрич-ну (С – параметр) сім’ю плоских кривих . Усі криві такої сім’ї можуть бути отримані одна з одної шляхом паралельного переносу вздовж осі Оу (рис. 19.1).

Зауваження 19.2. Доведення властивостей невизначеного інтеграла вимагає однозначного розуміння рівності двох невизначених інтегралів. Нехай відомі вирази двох інтегралів: та . Тоді із рівності

випливає, що

або .

Позначимо . Після цього будемо мати:

або .

(19.8)

Із останньої рівності очевидно, що для доведення рівності двох невизначених інтегралів достатньо довести рівність похідних від них, оскільки у виразі (19.8) похідна від константи . Цим тлумаченням рівності невизначених інтегралів і будемо користуватися при доведенні їх властивостей.

Властивість 19.1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

.

(19.9)

Доведення. Для доведення властивості 19.1 скористаємося означенням невизначеного інтеграла та первісної:

.

Властивість 19.2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

.

(19.10)

Доведення. Нагадаємо означення диференціала функції:

.

(19.11)

Для доведення властивості 19.2 скористаємося означеннями невизначеного інтеграла та диференціала:

.

Властивість 19.3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс довільна стала:

.

(19.12)

Доведення. Скористаємося виразом диференціала (19.11) для обчислення інтеграла :

.

Зауваження 19.3. Властивості 19.1–19.3 у різний спосіб показують, що операція інтегрування є оберненою до операції диференціювання.

Властивість 19.4. Постійний множник (не рівний нулю) можна виносити за знак невизначеного інтеграла:

,

(19.13)

де та .

Доведення. Нехай функція є первісною для функції , тоді функція є первісною для функції .

Обчислимо інтеграл:

Властивість 19.5. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій та дорівнює алгебраїчній сумі невизначених інтегралів від кожної функції окремо:

.

(19.14)

Властивість 19.5 узагальнюється на будь-яку скінченну кількість алгебраїчних доданків.

Доведення. Обчислимо похідні від обох частин рівності (19.14):

;
.

Похідні від лівої та правої частини рівності (19.14) рівні, отже, рівність (19.14) є доведеною у силу розглянутого вище тлумачення рівності невизначених інтегралів.

Зауваження 19.4. Властивості 19.4 і 19.5 часто об’єднують у одну, яка виражає властивість лінійності невизначеного інтеграла: невизначений інтеграл від лінійної комбінації двох функцій та дорівнює лінійній комбінації невизначених інтегралів від кожної функції окремо:

,

(19.15)

де ; ; .

Властивість 19.6. Якщо , тоді

,

(19.16)

де ; .

Доведення. Обчислимо похідні від обох частин рівності (19.16):

;
.

Наслідки 19.2 (із властивості 19.6).

,	(19.17)
,	(19.18)

де ; .

Значення невизначених інтегралів від основних елементарних функцій отримують із формул диференціювання цих функцій.

Дата добавления: 2013-12-13