КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Доведення
Метод заміни змінної У багатьох випадках введення нової змінної дозволяє звести обчислення заданого інтеграла до обчислення табличного інтеграла. Такий метод інтегрування називають методом замінизмінної або методом підстановки. Використання метода є доцільним у двох випадках. У першому випадку у підінтегральному виразі змінну х дорівнюють деякій функції з таким розрахунком, щоб після підстановки у під інтегральний вираз заданий інтеграл став табличним або обчислюваним за відомим методом. У другому випадку деякий вираз із підінтегральної функції позначають за нову змінну t з таким розрахунком, щоб у нових позначеннях інтеграл став, знову ж таки, табличним або обчислюваним за відомим методом. Підстановка, яка описана у першому випадку, використовується для теоретичного обґрунтування методу заміни змінної. Вона також застосовується у методі тригонометричних підстановок, методах інтегрування ірраціональних функцій, які будуть детально розглянуті пізніше. Підстановка, яка описана у другому випадку, є найбільш поширеною у прикладах у навчальній літературі. Обґрунтуємо застосування методу заміни змінної. Теорема. Нехай функція є неперервною разом із своєю похідною, тоді має місце рівність:
І спосіб. Покажемо, що функція є первісною для функції . Для цього обчислимо похідну від як від складної функції:
Наведемо низку тотожних перетворень, через яку можна перейти від невизначеного інтеграла у правій частині рівності (19.19) до невизначеного інтеграла у її лівій частині:
ІІ спосіб. Якщо від функції , крім неперервності разом із своєю похідною, вимагати ще існування оберненої функції , тоді можна запропонувати інший спосіб доведення теореми.
За правилом диференціювання оберненої функції:
Звідки маємо
Виконаємо перетворення підінтегрального виразу у інтегралі :
Таким чином, ми показали (перетворення (19.22)) як від правої частини формули (19.19) перейти до її лівої частини. Теорема доведена. Приклад 19.2. Обчислити невизначений інтеграл . Запропонований приклад є ілюстрацією першого випадку інтегралів, для яких доцільною є заміна виду , а саме . У загальному випадку ця заміна буде розглядатися пізніше у темі: "Інтегрування ірраціональних функцій". Доцільність підстановки обґрунтовується можливістю після її застосування скористатися формулою табличного інтегрування для обчислення заданого інтеграла.
Наступна серія прикладів стосується другого випадку застосування методу заміни змінної. Треба зауважити, що застосування методу заміни змінної є певною мірою мистецтвом, яке ґрунтується на доброму знанні правил диференціювання та наполегливості у набутті досвіду аналізу структури підінтегральної функції. Для полегшення процесу набуття такого досвіду розглянемо низку прикладів, на підставі розв’язання яких сформулюємо практичні правила вибору доцільної заміни.
Приклад 19.3. Обчислити невизначені інтеграли:
Розв’язання. 1) Підінтегральна функція є часткою двох функцій: і . Більш складною є функція . Похідна від її аргументу з точністю до постійного множника дорівнює простішій частині підінтегральної функції: . Тому доцільно новою змінною позначити аргумент функції косинус: .
2) Підінтегральна функція є часткою двох функцій: і . Більш складною є функція . Похідна від її аргументу з точністю до постійного множника дорівнює простішій частині підінтегральної функції: . Тому доцільно новою змінною позначити аргумент показникової функції:
.
3) Підінтегральна функція складається із двох множників: одного більш простої структури та другого – більш складної структури . Причому похідна від виразу з точністю до постійного множника співпадає з більш простим множником. Ці спостереження повинні привести до думки про доцільність заміни . Тобто за нову змінну позначаємо вираз, що є лінійним відносно функції . На другому кроці введення нової змінної обчислюють диференціали від обох частин рівності: . Звідки отримують, що . Таким чином, обчислення заданого невизначеного інтеграла зводиться до наступних дій:
4) Підінтегральна функція має таку саму структуру як і в першому інтегралі, тому скористаємося тією самою заміною, але після підстановки отримаємо інший табличний інтеграл:
5) Коли під коренем знаходиться вираз лінійний відносно якоїсь основної елементарної функції, тоді новою змінною зручно позначити весь корінь. Перетворення будуть містити один додатковий крок – піднесення до степеня, рівного степеню кореня.
6) Цього разу корінь квадратний, тому у другому рядку перетворень, пов'язаних із заміною змінної, треба обидві частини рівності піднести до квадрату:
7) У п’ятому прикладі під знаком кореня основна елементарна функція (у даному випадку ) знаходиться у квадраті, тому за нову змінну доцільно обрати тільки саму функцію. З метою зведення без зайвих перетворень заданого інтеграла до табличного доцільно підкореневий вираз представити так: . Тоді інтеграл обчислюють так:
8) Оскільки у таблиці інтегралів немає формули , а наявна тільки , то саме до останньої треба звести заданий інтеграл. Для цього підкореневий вираз треба представити так: . Тоді доцільною виявиться така заміна:
На рис. 19.2 подана схема аналізу підінтегральних функцій на доцільність введення тієї чи іншої заміни.
Рис. 19. 2. Спрощена схема аналізу підінтегральної функції при введенні нової змінної
Схема є спрощеною і стосується найбільш поширених ситуацій при застосуванні методу заміни змінної. Із неї існує багато виключень і уточнень, але нею варто користуватися на початку опанування теми: "Заміна змінної у невизначеному інтегралі". Нагадаємо, що основними елементарними функціями є многочлен, раціональна, степенева, показникова, логарифмічна, всі тригонометричні функції та обернені до них. Розглянемо виключення із запропонованої схеми, що зустрічаються найбільш часто. Зауваження 19.5. У запропонованій схемі рекомендовано, якщо до більш складної частини одна із основних елементарних функцій входить у степеню, вищому за перший, то за нову змінну позначають тільки саму функцію (див. приклад 5). Але можливо виявиться доцільним за нову змінну позначити степінь обраної функції (див. приклад 6) з таким розрахунком, щоб заміна привела до табличного інтеграла (найчастіше це будуть інтеграли виду ; ; ; ). Зауваження 19.6. При інтегруванні експоненціальної та показникової функцій треба звертати увагу на показники степенів цих функцій. Якщо більш проста та більш складна частини підінтегральної функції містять експоненціальну або показникову функції з однаковими показниками степенів, то найчастіше доцільною буде заміна, коли за нову змінну позначають усю більш складну частину. Якщо показник степеня у експоненціальної або показникової функції у більш складній частині удвічі більший, ніж у більш простій частині, то заміна повинна привести інтеграл до одного із видів ; ; . Приклад 19.4. Обчислити невизначені інтеграли:
Розв’язання. 1) Очевидно, що більш простою частиною підінтегральної функції є чисельник , а більш складною – знаменник . Показник степеня в обох випадках становить , тому, у відповідності до зауваження, доцільною є заміна :
2) У цьому прикладі також більш простою частиною підінтегральної функції є чисельник , а більш складною – знаменник , але показники степенів експоненціальних функцій є різними. Тому знаменник доцільно перетворити до вигляду . Остаточно отримаємо:
Приклад 19.5. Довести за допомогою методу заміни змінної властивість 19.6 невизначеного інтеграла: якщо , тоді
де ; . Доведення. Позначимо . Тоді інтеграл обчислюється так:
Таким чином, тотожність (19.16) може бути доведена двома способами.
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 1376; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |