Потенциальная энергия деформации

Рис. 2.8

Деформации и перемещения. Закон Гука

Рис.2.7

Высказанное предположение о равномерном распределении нормальных напряжений в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест: резкого изменения пло­щади поперечного сечения (рис. 2.2, в); скачкообразного изменения внешних нагрузок; скачкообразного изменения физико-механических характеристик конструкций.

Нормальные напряжения при сжатии определяют также, как и при растяжении, но считают отрицательными.

Следует помнить, что длинные (тонкие) стержни, нагруженные сжимающими силами, могут потерять устойчивость. Расчет стержней на устойчивость рассмотрен в разделе «Устойчивость».

В инженерных сооружениях встречаются растянутые или сжатые элементы, имеющие отверстия. В сечениях с отверстием определяют осредненные нормальные напряжения по формуле

, (2.3)

где - площадь поперечного сечения нетто; - площадь поперечного сечения брутто; - площадь его ослабления.

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко за­деланным, и другим - свободным, к которому приложена централь­ная продольная сила Р (рис. 2.8). До нагружения стержня его длина равнялась - после нагружения она стала равной (рис. 2.8). Величину называют абсолютным удлинением стержня.

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых ус­ловиях, деформация остается одной и той же по длине стержня и равной

. (2.4)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряжен­ное состояние, то для определения его абсолютного удлинения не­обходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.8). При растяжении он увеличит свою длину на величину и его деформация составит:

. (2.5)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде (нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации ):

. (2.6)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода (модуль продольной упругости). Его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки.

Из совместного рассмотрения уравнений (2.5) и (2.6) получим:

,

откуда с учетом того, что

и ,

окончательно получим:

. (2.7)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение A = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.7) получим

. (2.8)

Зависимость (2.8) также выражает закон Гука. Знаменатель EA называется жесткостью при растяжении - сжатии или продольной жесткостью.

При решении многих практических задач возникает необходи­мость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механи­ческих нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные темпера­турным воздействием. В этом случае пользуются принципом неза­висимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:

, (2.9)

где - коэффициент температурного расширения материала; t -пе­репад температуры тела. Для однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого по длине, получим:

. (2.10)

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу W на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

W = U + K. (2.11)

При действии статических нагрузок К = 0, следовательно,

W = U. (2.12)

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформа­ции. При разгрузке тела производится работа за счет потенциаль­ной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, уп­ругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружи­нах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу­чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.9, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку , ниже показан график изменения величины удлинения стержня в зависимости от силы Р (рис. 2.9, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня . Дадим некоторое приращение силе D Р - соответству­ющее приращение удлинения составит . Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

, (2.13)

Дата добавления: 2013-12-13