Решение. Проведем через центр тяжести центральные оси (см

Пример 2.

Рис.2

Проведем через центр тяжести центральные оси (см. рис. 2) и найдем моменты инерции относительно этих осей, как сумму моментов инерций простых фигур, составляющих заданную фигуру. Для определения моментов инерции простых фигур I, II и Ш используем формулы , , . Моменты инерции относительно собственных осей прямоугольника, треугольника и квадранта круга вычисляем соответственно по формулам

; ; ,

; ; .

; .

Отсюда

Теперь найдем положение главных осей инерции. Угол, на который надо повернуть ось , чтобы она стала главной осью, определяем по формуле :

;

; .

В соответствии с правилом знаков откладываем отрицательный угол по часовой стрелке и проводим главные центральные оси инерции Y, Z (см. рис. 2). Вычислим моменты инерции относительно этих осей по формуле :

; .

Для проверки вычислений удобно использовать следующее свойство: сумма моментов инерций относительно двух любых пар ортогональных осей есть величина постоянная. Тогда должно быть

.

В нашем примере .

Чтобы выяснить, какой момент инерции – максимальный или минимальный соответствует оси , исследуем знак второй производной функции по формуле .

.

Положительный знак второй производной означает, что оси соответствует минимальное значение момента инерции, т. е.

Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей по формуле и построим эллипс инерции.

Эллипс инерции показан на рис. 2. Видно, что эллипс вытянут в том направлении, в котором вытянута фигура.

Определить координаты центра тяжести и осевые моменты инерции сечения в виде круга радиусом r =3а с круговым отверстием радиуса r ₀ = a, касающимся центра круга (см. рис.).

Принимаем за 1-й элемент сплошной круг радиусом r =3а, за второй элемент отверстие радиуса r ₀ = a. Начальные оси проводим через центр тяжести 1-го элемента.

Тогда имеем:

; ;

; ; .

Так как ось р является осью симметрии сечения, так же как и осями симметрии элементов сечения, то эта ось является центральной осью у и . Следовательно, для определения положения центра тяжести сечения требуется определить только координату р_с

.

Координаты центров тяжести элементов относительно центральных осей:

; ; ; .

Осевые моменты инерции круга относительно собственных центральных осей определяются по формуле

.

Следовательно, имеем:

; .

Определяем осевые моменты инерции сечения

;

.

Так как сечение имеет ось симметрии, то центробежный момент инерции сечения равен нулю и оси у, z являются главными.

Дата добавления: 2013-12-13