Колебания груза на пружине

Динамика гармонических колебаний.

Для определения характера движения механической системы нужно:

- составить уравнение движения системы исходя из законов динамики или закона сохранения энергии;

- сравнить с уравнением (1.1.3) ;

- если оно приводится к такому виду, то можно однозначно утверждать, что данная система является гармоническим осциллятором, частота ω₀ которого равна корню квадратному из коэффициента при х.

Рассмотрим колебания груза на пружине, при условии, что пружина не деформирована за пределы упругости.

Покажем, что такой груз будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия (рис.1.1.3).

Действительно, согласно закону Гука, сжатая или растянутая пружина создаёт гармоническую силу:

где – коэффициент жёсткости пружины,

– координата положения равновесия,

х – координата груза (материальной точки) в момент времени ,

- смещение от положения равновесия.

Поместим начало отсчета координаты в положение равновесия системы. В этом случае .

Если пружину растянуть на величину х, после чего отпустить в момент времени t =0, то уравнение движения груза согласно второму закону Ньютона примет вид

-kx =ma, или , и

(1.1.6)

Это уравнение совпадает по виду с уравнением движения (1.1.3) системы, совершающей гармонические колебания, его решение будем искать в виде:

. (1.1.7)

Подставим (1.17) в (1.1.6), имеем: то есть выражение (1.1.7) является решением уравнения (1.1.6) при условии, что

Если в начальный момент времени положение груза было произвольным, то уравнение движения примет вид:

.

Рассмотрим, как меняется энергия груза, совершающего гармонические колебания в отсутствие внешних сил (рис.1.14).

Ø Если в момент времени t=0: грузу сообщить смещение х=А, то его полная энергия станет равной потенциальной энергии деформированной пружины , кинетическая энергия равна нулю (точка 1).

На груз действует сила F= -kx, стремящаяся вернуть его в положение равновесия, поэтому груз движется с ускорением и увеличивает свою скорость, а, следовательно, и кинетическую энергию. Эта сила сокращает смещение груза х, потенциальная энергия груза убывает, переходя в кинетическую. Система «груз - пружина» замкнутая, поэтому её полная энергия сохраняется, то есть:

. (1.1.8)

Ø В момент времени груз находится в положении равновесия (точка 2), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая максимальна .

Максимальную скорость груза найдём из закона сохранения энергии (1.1.8):

За счёт запаса кинетической энергии груз совершает работу против упругой силы – и пролетает положение равновесия. Кинетическая энергия постепенно переходит в потенциальную.

Ø При груз имеет максимальное отрицательное смещение – А, кинетическая энергия Wk =0, груз останавливается и начинает движение к положению равновесия под действием упругой силы F= -kx.

Далее движение происходит аналогично.

Дата добавления: 2013-12-13