Энергия и уравнение движения

Когда материальная точка совершает колебания, кинетическая энергия переходит в потенциальную, и наоборот.

В крайних точках(х = ±А) скорость , кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия равна потенциальной:

Таким образом, полная механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия (х =0) потенциальная энергия переходит в кинетическую:

В промежуточных точках полная энергия равна

а скорость

На рисунке 1.1.16 приведена кривая потенциальной энергии :

- горизонтальная линия соответствует полной энергии.

- расстояние от этой линии до кривой равно кинетической энергии.

-движение ограничено значениями х, заключёнными в пределах от –А до + А.

Средние за период значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы и равны

,

так что средняя полная энергия системы равна полной энергии системы

(средние значения ).

Уравнение движения колебательной системы можно получить не только из уравнений динамики, но и из закона сохранения энергии W (иногда это бывает удобнее). Для этого нужно:

- составить выражение для энергии W,

- продифференцировать его по времени;

- потребовать, чтобы , поскольку .

Это и приведет к искомому уравнению.

Важно отметить, что колебательная система будет гармоническим осциллятором лишь при условии , т. е. когда потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия. Это условие является и «энергетическим» критерием малых колебаний.

Пример. Пусть в колебательной системе и , где х — смещение из положения равновесия, α и β — положительные постоянные. Убедимся, что условие приводит к уравнению гармонического осциллятора. Продифференцировав W по времени, получим

Отсюда следует, что . Это и есть уравнение гармонического осциллятора с частотой .

Дата добавления: 2013-12-13