Свойства потока

- это интегральная характеристика векторного поля; это скалярная величина.

зависит от направления нормали к поверхности : если изменить направление на противоположное, то изменит знак.

Если по замкнутой поверхности в направлении ее внешней нормали:

равен 0, то говорят, что внутри поверхности источники и стоки уравновешивают друг друга;

больше 0, то говорят, что внутри поверхности преобладают источники поля;

меньше 0, то говорят, что внутри поверхности преобладают стоки поля.

Удобные формулы для вычисления :

Если поверхность задана уравнением , то вектор ее нормали Þ единичный вектор нормали Þ

«+» брать в случае, когда векторы и , указанные в задаче, совпадают по направлению;

«-», если эти векторы противоположны.

Для вычисления поверхностного интеграла поверхность проектируют на одну из координатных плоскостей, например, в область . Тогда , где Þ (*)

Пример 1:

. Вычислить поток через часть поверхности , расположенную в I октанте, в направлении нормали, образующей острый угол с .

Решение:

; : .

.

При в I октанте образует острый угол с Þ в формуле (*) надо брать знак «+» Þ.

Пример 2:

Вычислить поток радиус-вектора точки через поверхность цилиндра радиуса и высоты , стоящего на плоскости так, что ось является его осью симметрии. Направление - внешнее.

Решение:

Обозначим:

- поток через боковую поверхность;

- поток через верхнее основание;

- поток через нижнее основание.

.

;

;

.

.

Þ внутри цилиндра находятся источники векторного поля.

Дата добавления: 2014-01-04