Интеграл как функция верхнего предела

Заметим, что , то есть не имеет значения, по какой переменной – x или u – интегрировать на отрезке . Ведь в обоих случаях любая интегральная сумма имеет вид . Пусть задана интегрируемая на функция . Тогда, каково бы ни было x, удовлетворяющее неравенствам , функция интегрируема также и на . Нас интересует . (25.8)
Рис. 25.2.

♦ Теорема 25.6. Если функция интегрируема на отрезке , то функция , определённая по формуле (25.8), непрерывна в любой точке .

Доказательство. Зададим произвольную точку x и придадим ей приращение h.

для , . Таким образом

, ,

то есть функция непрерывна в точке x. ■

♦ Теорема 25.7. Если интегрируемая на отрезке , функция непрерывна в точке , то в этой точке существует производная от функции : .

Доказательство. Зададим произвольную точку x и придадим ей приращение h.

.

Так как функция непрерывна в точке x, то для такое, что для следует . Поэтому для

,

,

то есть существует производная

. ■

Таким образом, если функция непрерывна на отрезке , то для неё существует первообразная на этом отрезке. При этом в качестве одной из первообразных можно взять интеграл (25.8). Неопределенный интеграл от функции , непрерывной на отрезке , равен , .

Приведём ещё одно доказательство формулы Ньютона-Лейбница.

, , .

Если – какая-либо первообразная, то .

– это формула Ньютона-Лейбница. ■

J Пример 25.1. , то есть площадь заштрихованной фигуры (рис. 25.3) равна . J

J Пример 25.2. , то есть площадь заштрихованной фигуры (рис. 25.4) равна 2. J

Рис. 25.3.	Рис. 25.4.

25.5. Замена переменной в определённом интеграле

♦ Теорема 25.8 (о замене переменной).

. (25.9)

Здесь функция непрерывно дифференцируема на отрезке , , и функция непрерывна на отрезке .

Доказательство. Пусть и – первообразные функций и , , .

. (25.10)

По формуле Ньютона-Лейбница левая часть (25.10) равна правой части (25.9), а правая часть (25.10) – левой части (25.9). Таким образом, формула (25.9) доказана. ■

J Пример 25.3. 1) .

2) . J

J Пример 25.4. Если – чётная функция , то .

Доказательство. ,

. ■ J

J Пример 25.5. Если – нечётная функция , то .

Доказательство аналогично доказательству примера 25.4. ■ J

J Пример 25.6. Если – периодическая функция с периодом , то .

Доказательство. ,

. ■ J

Дата добавления: 2014-01-04