Признак сходимости Даламбера

♦ Теорема 30.2 (признак сходимости Даламбера [1] ). Пусть все члены ряда

(30.7)

положительны и существует. Тогда:

1) если , то ряд сходится,

2) если , то ряд расходится,

3) если , то определённого ответа нет.

Доказательство. или

. (30.8)

1) Если , положим , . Тогда или при . Следовательно, , , …. Члены ряда

(30.9)

меньше соответствующих членов геометрической прогрессии

. (30.10)

Так как , то ряд (30.10) сходится, следовательно ряд (30.9) сходится и по признаку сравнения ряд (30.7) сходится.

2) Пусть теперь . Возьмём так, что . При достаточно большом n , при . Следовательно, . Таким образом, члены ряда (30.7), начиная с некоторого номера N, возрастают при увеличении их номера, будучи положительными. Следовательно, не стремится к нулю при . Поэтому, на основании следствия из необходимого признака сходимости ряд (30.7) расходится, причём общий член его не стремится к нулю.

3) Если , то ряд в одних случаях сходится, в других расходится. В этом случае прибегают к другим признакам. ■

☼ Замечание 30.1. Если ряд (30.7) функциональный, то есть и – соответствующий предел, то наша схема 1), 2), 3) остаётся в силе для каждого значения x. ☼

☼ Замечание 30.2. Из доказательства пункта 2) следует, что если для некоторого ряда выполнено неравенство , то n -й член этого ряда не стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера n. ☼

J Пример 30.2. 1) Исследуем ряд , .

Рассмотрим , .

При ряд расходится, при ряд сходится, при получаем гармонический ряд , который расходится.

2) Исследуем ряд .

Общий член ряда . Так как , то ряд сходится.

3) Для ряда общий член . По признаку сходимости Даламбера . Мы раньше доказали, что этот ряд сходится (пример 30.1.1)). J

Дата добавления: 2014-01-04