Абсолютная сходимость. Признак абсолютной сходимости ряда

Таким образом, все сходящиеся ряды можно разбить на два класса.

1) Сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, также сходятся. Такие ряды называются абсолютно сходящимися рядами.

2) Сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Такие сходящиеся ряды называются неабсолютно сходящимися или условно сходящимися рядами.

Определение 30.1. Ряд называется абсолютно сходящимся рядом, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся рядом, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Например, сходящийся ряд есть ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, тоже сходится (эти ряды – геометрические прогрессии со знаменателями и ).

Напротив, ряд сходящийся (докажем это позже), но не абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, – гармонический ряд расходится.

♦ Теорема 30.5 (признак абсолютной сходимости ряда). Пусть для некоторого ряда

(30.17)

выполнено условие . Тогда:

1) если , то ряд сходится абсолютно,

2) если , то ряд расходится.

Доказательство. Наше условие – это признак Даламбера, применённый к ряду абсолютных величин

(30.18)

Отсюда вытекает, что если , то оба ряда (30.17) и (30.18) сходятся и, следовательно, сходятся абсолютно. Если же , то в силу замечания 30.2 не стремится к нулю при . В этом случае оба ряда (30.17) и (30.18) расходятся. ■

[1] Даламбер Жан Лерон (1717-1783) – французский математик, механик и философ-просветитель.

Дата добавления: 2014-01-04