Лекция 31

Интеграл Фурье для четных функций

I. Предположим, что и является чётной функцией.

Очевидно, что и

, (31.1.)

. (31.2.)

II. Пусть и является нечётной функцией.

III.

Тогда и , (31.3.)

. (31.4.)

Если функция f определена на (или ), то целесообразно её доопределить на другой половине оси таким образом, чтобы она была чётной или нечётной. Тогда сможем использовать представленные выше формулы (31.1.)-(31.4.). В свою очередь, эти формулы можно представить в другой симметричной форме. С этой целью обозначим:

, (31.5.)

. (31.6.)

Тогда формулы (31.2.) и (31.4.) принимают вид:

, (31.7.)

.

Функцию назовём косинус – преобразованием Фурье функции , а – синус преобразованием Фурье.

Пример 31.1. Найти косинус- и синус- преобразования Фурье для функции

.

Для того чтобы найти косинус-преобразование, доопределяем функцию в интеграле чётным образом и получаем функцию

Тогда

и

Для того чтобы найти синус-преобразование, доопределяем функцию нечётным образом:

Тогда

.

функцию можно представить следующим образом:

.

Таким образом, мы не только решили поставленную задачу, но и вычислили так называемые интегралы Лапласа:

и

.

Комплексная форма интеграла Фурье.

Преобразование Фурье.

Дата добавления: 2014-01-04