Дивергенция векторного поля. Продолжим изучение характеристик векторных полей

Продолжим изучение характеристик векторных полей.

Определение. Дивергенцией векторного поля A = { A_x, A_y, A_z }, где A_x, A_y, A_z – функции от x, y, z, называется

. (28/1.3)

Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.

Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция харак-теризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы (28/1.1) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля { P, Q, R }, а в правой – поток этого вектора через ограни-чивающую тело поверхность S:

(28/1.4)

Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы коор-динат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограни-ченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (28/1.4) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:

. (28/1.5)

Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции, то есть определением, не зависящим от выбора координатной системы.

Дата добавления: 2014-01-04