Геометрическая интерпретация производной для случая функции двух переменных

Касательная – это предельное положение секущей при стремлении к нулю. – касательная к кривой K в точке (рис. 38.1), если расстояние от переменной точки M до прямой при является бесконечно малой высшего порядка, чем (то есть , а это значит, что стремится к нулю , а с ним и угол между секущей и прямой ).
Рис. 38.1.

Рассмотрим теперь некоторую поверхность S и точку на ней. Дадим определение касательной плоскости.

Определение 38.1. Плоскость называется касательной плоскостью к поверхности S в точке на ней, если расстояние от переменной точки поверхности S до этой плоскости при стремлении к нулю является бесконечно малой высшего порядка, чем (то есть ).

Рассмотрим условия, задающие касательную плоскость и нормаль к поверхности. Пусть поверхность S задана уравнением , точка принадлежит этой поверхности. При каких условиях плоскость P, проходящая через точку и имеющая уравнение

, (38.4)

удовлетворяет определению 38.1?

Проведём || Oz, (рис. 38.2). Рассмотрим отношение . Если при , то и (так как ). Отрезок с точностью до знака, равен выражению . Если ввести обозначения , , , то выражение перепишется в виде .

,

,

отсюда , следовательно

.

Таким образом, плоскость (38.4) будет касательной плоскостью к поверхности в том и только в том случае, если вместе с , то есть если . Для того, чтобы поверхность в точке , где имела касательную плоскость, необходимо и достаточно, чтобы при , функция была дифференцируема. Так как при выполнении этого условия A и B равны частным производным и , то касательная плоскость выразится уравнением .
Рис. 38.2.

Если поверхность задана уравнением , то касательная плоскость к поверхности в точке определяется так:

. (38.4а)

Нормаль к поверхности в точке (прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной плоскости):

. (38.5)

Точки, в которых все частные производные функции обращаются в нуль, называются особыми точками функции. В таких точках поверхность не имеет ни касательной плоскости, ни нормали.

Дата добавления: 2014-01-04