Признак Даламбера

Теорема 39.3. Если для ряда , u_n > 0, существует предел , то при l < 1 ряд сходится, а при l > 1 расходится.

Доказательство.

а) Пусть l < 1. Выберем число q так, что l < q < 1. Тогда можно найти такой номер N, что

для всех n > N выполняется неравенство следовательно, u_n < qu_{n- 1}. Применяя это неравенство для n = N + 1, n = N + 2 и т.д., получим:

Ряд сходится (как геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим 1), поэтому по теореме 39.1 сходится и ряд , а следовательно, и ряд(по теореме 38.1).

б) Пусть теперь l > 1, тогда для всех п, больших некоторого N, следовательно,

u_n > u_{n- 1}. C учетом знакоположительности ряда из этого следует, что то есть ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости).

Замечание. При l = 1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (ряд в этом случае может и сходиться, и расходиться).

Пример. Применим признак Даламбера к исследованию сходимости ряда .

, следовательно, ряд сходится (учитываем, что (п + 1)! = п!(п + 1)).

Дата добавления: 2014-01-04