Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Это - уравнения вида

(15)

Докажем теорему:

Общее решение уравнения (15), содержащее все его частные решения, может быть получено по формуле

, (16)

где – общее решение линейного однородного уравнения (12), а – какое – либо частное решение линейного неоднородного уравнения (15).

Доказательство. Пусть – некоторое конкретное частное решение уравнения (15), а – любое другое его частное решение. Тогда одновременно имеем:

Вычитая из верхнего уравнения нижнее, получим:

То есть функция удовлетворяет линейному однородному уравнению (12), а значит, эта функция входит в его общее решение (14). Таким образом,

Теорема доказана.

Согласно формуле (16), определяющей структуру общего решения линейного неоднородного уравнения (15), получение этого общего решения равносильно решению двух частных проблем.

Проблема 1: решить линейное однородное дифференциальное уравнение (12) и получить его общее решение (14).

Проблема 2: найти (или подобрать) какое - либо частное решение неоднородного уравнения (15).

Схема решения первой из этих проблем указана выше. А вторую проблему для произвольной функций можно решить так называемым методом вариации произвольной постоянной.

Суть этого метода в следующем. Будем искать частное решение неоднородного дифференциального уравнения (15) в виде

(17)

То есть в виде, аналогичном виду (14) общего решения линейного однородного уравнения (12), только с заменой произвольной константы С на неизвестную функцию . Находя из (17)

(18)

и подставляя в уравнение (15) вместо и выражения (17) и (18) для и , получим:

(19)

Учитывая, что - одно из частных решений линейного однородного уравнения (12), получаем, что квадратная скобка в (19) равна нулю. Значит, (19) принимает вид:

(20)

Отсюда находим , а по ней и :

=

=| отбрасываем С, чтобы получить конкретную функцию | = (21)

Подставляя найденную функцию в формулу (17), получим искомое частное решение неоднородного уравнения (15). А затем, по формуле (16), получим и общее решение этого уравнения.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение

(22)

Решение. Данное уравнение

(23)

имеет вид (15) при и , то есть является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Следовательно, его общее решение, содержащее все его частные решения, может быть найдено по формуле (16). Найдем оба слагаемых этой формулы. Для этого решим следующие две проблемы.

Проблема 1. Решим соответствующее неоднородному уравнению (23) однородное уравнение

(24)

и найдем его общее решение . Для этого реализуем схему (13):

, где .

Итак,

() (25)

- общее решение линейного однородного уравнения (24).

Проблема 2. Найдем частное решение линейного неоднородного уравнения (23). Функция уже найдена. А функцию найдем по схеме (21):

(26)

Итак,

(27)

- частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (23).

А теперь по формуле (16) с учетом (25) и (27) запишем и искомое общее решение линейного неоднородного уравнения (23):

(28)

Примечание. Довольно часто частное решение линейного неоднородного уравнения можно подобрать, не применяя метода вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим, например, следующие неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка (15) при постоянном :

1) 2) 3) … (29)

Частное решение каждого из таких уравнений можно подобрать, разыскивая его в форме, совпадающей с формой его правой части. То есть соответственно в форме:

1) ; 2) ; 3) ; … (30)

Здесь - неизвестные коэффициенты, которые найдутся, если подставить функцию вместе с её производной в соответствующее уравнение (29) и сравнить затем коэффициенты в левой и правой частях при одинаковых степенях . Этот метод подбора функции называется методом неопределенных коэффициентов.

Пример 6. Методом неопределенных коэффициентов подобрать частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка

(31)

Решение. Правая часть данного уравнения представляет собой квадратный трехчлен вида при а = 6, b = 0, с = -1. Поэтому и частное решение этого уравнения будем искать в виде квадратного трехчлена

(32)

Учитывая, что и подставляя и вместо и в уравнение (31), получим:

(33)

Если - частное решение уравнения (31), то после его подстановки в это уравнение должно получаться тождество – равенство, верное при любых х. Значит, равенство (33) должно быть тождеством. А это будет, если

, откуда

Итак,

- частное решение уравнения (31). И в этом легко убедиться, сделав проверку.

Уравнение в полных дифференциалах.

Определение. Уравнение

М(x,y)dx + N(x,y)dy=0 (34)

Называется уравнением в полных дифференциалах, если М(x,y) и N(x,y) непрерывные дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение:

, (35)

причем и непрерывны в некоторой области.

Теорема. Если левая часть уравнения М(x,y)dx + N(x,y)dy=0 есть полный дифференциал, то выполняется условие , и обратно – при выполнении условия левая часть уравнения М(x,y)dx + N(x,y)dy=0 есть полный дифференциал некоторой функции u(x,y), т.е. уравнение (34) имеет вид

du(x,y)=0 (36)

и, следовательно, его полный интеграл есть u(x,y) = С.

Доказательство. Предположим сначала, что левая часть уравнения (34) есть полный дифференциал некоторой функции

Алгоритм интегрирования уравнения в полных дифференциалах u(x,y), т.е.

,

тогда .

Дифференцируя первое соотношение по у, а второе – по х, получим:

, .

Предполагая непрерывность вторых производных, будем иметь:

,

т.е. равенство (35) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (34) была полным дифференциалом некоторой функции u(x,y).

Теперь покажем, что это условие является и достаточным, т.е. что при выполнении равенства (35) левая часть уравнения (34) есть полный дифференциал некоторой функции u(x,y).

Из соотношения находим , где x₀ – абсцисса любой точки из области существования решения. При интегрировании по х мы считаем у постоянным и поэтому произвольная постоянная интегрирования может зависеть от у. Подберем функцию так, чтобы выполнялось соотношение . Для этого продифференцируем обе части последнего равенства по у и результат приравняем к N(x,y). Поскольку зависит от у, для того чтобы найти производную от этого интеграла по у, нужно продифференцировать по у подынтегральную функцию:

,

но так как , то сделаем замену и получим:

,

т.е.

или

.

Таким образом, функция будет иметь вид . Здесь P(x₀,y) – точка, в окрестности которой существует решение дифференциального уравнения (34). Приравнивая это выражеиие произвольному постоянному С, получим общий интеграл уравнения (34).

. (37)

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах. Обозначим . Тогда т.е. при выполняется условие (35). Значит левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой неизвестной функции u(x,y). Найдем эту функцию.

Так как , то, следовательно,

, где - не определенная пока функция от у.

Дифференцируя это соотношение по у и учитывая, что находим:

;

следовательно,

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения:

Дата добавления: 2014-01-04