Лекция 43. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Определения и общие свойства. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 1. Дифференциальное уравнение n – го порядка называется линейным, если оно является уравнением первой степени относительно совокупности искомой функции у и её производных т.е. имеет вид

, (1)

где и f(x) – заданные функции от х или постоянные, причем для всех значений х из той области, в которой мы рассматриваем уравнение (1).

В дальнейшем мы будем предполагать, что функции и f(x) непрерывны при всех значениях х, причем коэффициент а₀ =1. (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него). Функция f(x), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если , то уравнение называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью. Если же , то уравнение имеет вид

(2)

и называется линейным однородным. Левая часть этого уравнения является однородной функцией первой степени относительно

Основные свойства линейных однородных уравнений.

Теорема 1. Если y₁ и y₂ – два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка

(3)

то y₁ + y₂ есть также решение этого уравнения.

Доказательство. Так как y₁ и y₂ - решения уравнения, то

и . (4)

Подставляя в уравнение (3) сумму y₁ + y₂ и принимая во внимание тождества (4), будем иметь

где y₁ + y₂ есть решение уравнения.

Теорема 2. если y₁ есть решение уравнения (3) и С – постоянная, то Су₁ есть также решение уравнения (3)

Доказательство. Так как y₁ - решения уравнения, то . Подставляя в уравнение (3) выражение Су₁, получим

,

что и требовалось доказать.

Определение 2. Два решения уравнения (3) y₁ и y₂ называются линейно независимыми на отрезке , если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если . В противном случае решения называются линейно зависимыми.

Иными словами, два решения y₁ и y₂ называются называются линейно независимыми на отрезке , если существует такое постоянное число , что при . В этом случае .

Пример 1. Рассмотрим уравнение . Легко проверить, что функция являются решениями этого уравнения. При этом функции линейно независимы на любом отрезке, т.к. не является постоянным при изменении х. Функции линей но зависимы, т.к. .

Определение 3. Если y₁ и y₂ суть функции от х, то определитель

называется определителем Вронского или вронскианом данных функций.

Определитель Вронского имеет много различных свойств. Нам для доказательства теоремы об общем решении уравнения (3) потребуется следующее свойство:

Теорема 3. Если определитель Вронского , составленный для решений y₁ и y₂ линейного однородного уравнения (3), не равен нулю при каком-нибудь значении x=x₀ на отрезке , где коэффициенты уравнения непрерывны, то он не обращается в нуль ни при каком значении х на этом отрезке.

С его помощью мы докажем теорему:

Теорема 4. Если y₁ и y₂ – два линейно независимых решения уравнения (3), то

(5)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, есть его общее решение.

Доказательство. Из теорем (1) и (2) следует, что функция есть решение уравнения (3) при любых значениях С₁ и С₂.

Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия ,, можно так подобрать значения произвольных постоянных С₁ и С₂, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям. Подставляя начальные условия в равенство (5), будем иметь

, , (6)

где обозначено

, , , .

Из системы (6) можно определить С₁ и С₂, так как определитель это системы

есть определитель Вронского при x=x₀ и, следовательно, не равен 0 (в силу линейной независимости решений y₁ и y₂). Частное решение получится из семейства (5) при найденных значениях С₁ и С₂, удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует.

Дата добавления: 2014-01-04