Предел и непрерывность функции 2 переменных

Функции нескольких переменных.

Лекция №20

по теме: « Функции двух и нескольких переменных и их области применения. Предел, непрерывность »

Волгодонск

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких независимых переменных.

Определение: Пусть задано множество упорядоченных наборов чисел, принадлежащее некоторой n-мерной области D. Правило (закон), который ставит в соответствие каждому набору чисел единственное значение называется функцией нескольких переменных, действующей из D в R (D®R). При этом называются независимыми переменными, а z – зависимой переменной.

Будем рассматривать функции 2 переменных, поскольку важнейшие факты теории функции многих переменных наблюдаются уже на них. Кроме того, для функций 2 переменных можно представить наглядную геометрическую интерпретацию.

Функции 2 переменных, способы задания, область определения.

Определение: Пусть задано множество упорядоченных пар чисел (x;y), принадлежащее плоской области D. Правило (закон), который ставит в соответствие каждой паре чисел единственное значение называется функцией двух переменных, действующей из D в R (D®R). При этом x и y называются независимыми переменными, а z – зависимой переменной.

Множество называется областью определения функции; множество значений, принимаемых z в области определения называется областью значений функции, обозначается E или.

В математике чаще всего используется аналитический способ задания функций (с помощью формул), а в прикладных задачах часто приходится сталкиваться с графическим заданием функции (с помощью графика).

Например:,,.

Естественной областью определения функции двух переменных является множество пар (x,y), при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.

Пример:

Найти естественную область определения функции.

.

Решение:

Функция не определена когда знаменатель дроби обращается в ноль.

. Существует единственное решение данного уравнения.. Следовательно, областью определения функции являются все пары точек, за исключением точки (0,0).

Задачи для самостоятельного решения:

.

.

Определение: Графиком функции называется множество точек пространства с координатами (x,y,f(x,y)),таких, что (x,y)ÎD(z)-область определения функции. Для функции двух переменных графиком является некоторая поверхность.

Для функции 2 (и большего числа переменных) вводится понятие предела и непрерывности, как и для функций одной переменной. Обозначим через r расстояние между точками M(x,y) и M(x₀,y₀),тогда. Рассмотрим неравенство r<d или. Это неравенство задает внутреннюю область круга с центром в точке M₀ и радиусом d, которую называют -окрестностью точки.

Определение: Число А называется пределом функции при x®x₀, y®y₀ в точке, если для любого, сколь угодно малого положительного e, найдется d, зависящее от e, положительное, такое, что из неравенства, будет следовать неравенство, при условии что. из неравенства и Þ. =

Замечание: Все теоремы о пределах для функций с одной переменной справедливы и для функций многих переменных.

Определение: Функция называется непрерывной в точке,если,то есть если предел в точке совпадает со значением функции в этой точке.

Определение: Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она непрерывна на всей этой области.

Пример:

Найти предел:

Решение:

Будем приближаться к точке O(0,0) по прямой y=kx (поскольку из определения предела он не должен зависеть от пути приближения к точке).

.

В точке O(0,0) предела не существует, так как при разных значениях k функция имеет различные предельные значения.

Задача для самостоятельного решения:

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется функцией нескольких переменных?

2. Что называется функцией двух переменных?

3. Что такое естественная область определения?

4. Что называется графиком функции двух переменных?

5. Что такое предел?

6. Какие функции непрерывные в точке и на области?

Дата добавления: 2014-01-04