Числовые ряды

Определение. Выражение вида

(1)

представляющее собой сумму бесконечного числа слагаемых, называется рядом. Если слагаемые (члены) ряда (а₁; а₂; а₃; …) – числа, то ряд называется числовым. А если они являются функциями, то ряд является функциональным. В этой лекции мы будем рассматривать лишь числовые ряды.

Ключевым понятием любого ряда (1) является его сумма, то есть сумма всех тех слагаемых, которые содержатся в ряде. Так как в нем бесконечное число слагаемых, то его сумму нельзя получить прямым сложением всех слагаемых – так, как мы это делаем при складывании конечного числа слагаемых. Действительно, процесс суммирования членов ряда не будет иметь конца, и мы, таким образом, сумму ряда никогда не найдем. Поэтому и к определению, и к нахождению суммы ряда должен быть применен какой-то другой подход.

И этот подход состоит в следующем. Пусть

S_n = а₁+ а₂ + …+ а_n (2)

- сумма первых n слагаемых ряда (1), которую называют n -ой частичной суммой ряда. В частности,

S₁=a₁; S₂=a₁+a₂; S₃=a₁+a₂+a₃; … (3)

С изменением n будет меняться и частичная сумма S_n, причем при увеличении n она будет включать в себя все больше и больше слагаемых ряда (1). Тогда сумму всего этого ряда естественно определить как предел суммы S_n при . То есть, по определению,

(4)

- сумма ряда (1). В обозначении S_∞ суммы ряда значок ¥ указывает на то, что речь идет о сумме бесконечного числа слагаемых. Впрочем, этот значок обычно опускают и сумму ряда обозначают просто символом S.

Сумма ряда S_∞, как и всякий предел, может существовать, а может и не существовать, может быть бесконечной, а может быть и конечной. Если сумма ряда существует и конечна, ряд называется сходящимся. А если эта сумма равна ∞ или она не существует вообще, то ряд называется расходящимся.

Имеются способы (о них мы будем говорить ниже) выяснения вопроса о том, сходится или расходится данный числовой ряд. Если удалось установить, что ряд сходится, то у него есть конечная сумма S. Иногда её можно найти точно. Но чаще – только приближенно по формуле

S = S_∞ ≈ S_n, (5)

где S_n (см. (2)) – сумма первых n слагаемых ряда. Смысл формулы (5) состоит в том, что при нахождении суммы сходящегося ряда суммируется лишь некоторая часть его слагаемых (первые n слагаемых), а остальные просто отбрасываются. Результат будет получаться тем точнее, чем больше n. Есть и возможность оценки погрешности, допускаемой при замене S = S_∞ на S_n.

Пример 1. Показать, что ряд

0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + … (6)

сходится и имеет сумму S = 1.

Решение. Для данного ряда имеем:

S₁ = 0,9; S₂ = 0,9 + 0,09 = 0,99; S₃ = 0,9 + 0,09 + 0,009 = 0,999; …

S_n = при .

Таким образом,

= 1. (7)

Как оказалось, сумма S ряда - число, поэтому ряд сходится. И так как эта сумма равна 1, то можем записать:

0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + … = 1 (8)

Пример 2. Показать, что ряд

² = 1² + 2² + 3² + 4² + … (9)

расходится.

Решение. Очевидно, что для данного ряда

S_n = 1² + 2² + 3² + … + n ² ® ∞ при n ® ∞.

То есть

=¥ (10)

А значит, ряд (9) расходится, ибо его сумма бесконечна:

1² + 2² + 3² + 4² + … = ∞ (11)

Пример 3. Показать, что ряд

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … (12)

расходится.

Решение. Для данного ряда

S ₁ = 1; S ₂ = 1–1 = 0; S ₃ = 1–1+1 = 1; S ₄ = 1–1+1–1 = 0; …

То есть (13)

Очевидно, что - не существует (сумма ряда не существует). А значит, ряд расходится.

Пример 4. Рассмотрим числовой ряд вида

(14)

Этот ряд известен еще из курса элементарной математики под названием «сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ». Как известно, эта сумма существует и конечна (а, значит, ряд (14) сходится) лишь при знаменателе прогрессии – 1 < q < 1, причем

= (– 1 < q < 1) (15)

При ряд (14) расходится, так конечной суммы не имеет.

Дата добавления: 2014-01-04