Пересечение множеств

2)

Операции над множествами

Лекция № 7

Тема: Множество. Операции над множествами.

Отображение. Функция, способы её задания. Основные элементарные функции.

Совокупность каких–либо предметов (элементов), объединённых общим признаком, называется множеством.

Обозначение:, –элементы множества.

Если и

Если и

Если и

Пример 1. Множествовещественных чисел () и на числовой прямой.

– пустое множество (множество не содержащее ни одного элемента)

– интервал (открытое множество)

– отрезок (замкнутое множество)

Множество, для которого все элементы границы также ему принадлежат, называется замкнутым множеством.

Множество, для которого элементы границы ему не принадлежат называется открытым множеством.

Пусть –множества произвольной природы.

1)

– объединение множеств: или ().

– разность множеств А и В.

Свойство операций над множествами:

Если, то множество А – подмножество множества В.

Если сопоставить по определённому закону элемент, то такое сопоставление называется отображением.

При этом множество называется образом множества посредством закона, т.е., соответственно множество называется прообразом множества.

Если образ, т.е. элементы, для которых отсутствует свой прообраз, то говорят, что отображает множество в множество А.

Если, то имеем отображение отображение множества на множество.

Если сопоставляется один и только один элемент, то имеем взаимно–однозначное соответствие: посредством отображения.

Если сопоставить элемент по некоторому закону, причём единственный, то имеем однозначное отображение, называемое функцией:, при этом элементы множества называются независимой переменной (аргумент), элементы множества называются зависимой переменной или значением функции.

Если сопоставляется несколько значений, то отображение и соответствующая функция называются многозначными.

Примеры функций:

1)

2)

3)

4)

5)

Способы задания функции:

1) аналитический

2) графический

3) табличный

Множество, для которых функция имеет смысл называется областью определения функции.

Две функции равны, если выполнены условия: совпадают законы, их задающие, области их определения:

1)

2)

Функция называется возрастающей (убывающей), если.

Функция называется неубывающей (не возрастающей), если.

Данные функции называются монотонными.

Функция называется чётной, если, Т.е. множество определения симметрично относительно начала координат. Функция называется нечётной, если.

Функция называется периодической, если такое число,. Наименьшее значение Т называется периодом функции.

Функция называется ограниченной на множестве, если.

Если отображение является взаимно–однозначным, то наряду с функцией: существует обратное отображение, т.е. обратная функция.

Графиком функции называется множество точек:. Если функции и имеют одну область определения, то определены и выражения:

а)

б)

в)

Пусть определены функции: и, то определена суперпозиция функций и, так, что::

Пример:

;. Здесь:

.

Суперпозиция: не определена, определена лишь суперпозиция:, здесь: #

Дата добавления: 2014-01-04