Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Признаки сравнения:

· (сходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда если ряд сходится, то ряд тоже сходится;

· (расходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда если ряд расходится, то ряд тоже расходится.

Все теоремы сведём в таблицу:

	Изучаемый ряд		Известный ряд	Вывод
		£	− и он сходится	− сходится
		³	− и он сходится	− может и сходиться, и расходиться
		£	− и он расходится	−может и сходиться, и расходиться
		³	− и он расходится	− расходится

Признак Даламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует .

· если q <1 – ряд сходится;

· если q >1 – ряд расходится;

· если q =1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.

Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует .

· если q <1 – ряд сходится;

· если q >1 – ряд расходится;

· если q =1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.

Интегральный признак: Пусть дан ряд с положительными членами, являющимися значениями некоторой функции f (x), непрерывной и убывающей на полуинтервале [1; +¥). Тогда ряд будет сходиться в том случае, если сходится несобственный интеграл: и расходиться в случае его расходимости.

Обобщённый гармонический ряд: :

· сходится при a>1;

· расходится при 0<a£1.

Ряд	Геометрическая прогрессия	Обобщённый гармонический ряд
Сходится	| q |<1	a >1
Расходится	| q |³1	0< a £1

Задание 3. Исследовать ряд на сходимость, используя признаки сравнения:

Задание 4. Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера:

Применим признак Даламбера для данного положительного ряда: Имеем: Итак, ряд _____________________________.	Итак, ряд _____________________________.

Задание 5. Исследовать ряд на сходимость по признаку Коши:

Применим признак Коши: Итак, ряд______________________________.	Применим признак Коши:   Итак, ряд____________________________.

Дата добавления: 2014-01-04