Основные соотношения

Введение

План конспект.

Введение. 1

Основные соотношения. 1

Возможные приложения. 3

Список использованной литературы. 5

Наиболее известным общим подходом к формальному описанию процессов функционирования систем является подход, предложенный Н.П. Бусленко. Этот подход позволяет описывать поведение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем, т.е. по сравнению с рассмотренными является обобщенным (универсальным) и базируется на понятии агрегативной системы (от англ. aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида, которую будем называть А-схемой.

Основные соотношения. Анализ существующих средств моделирования систем и задач, решаемых с помощью метода моделирования на ЭВМ, неизбежно приводит к выводу, что комплексное решение проблем, возникающих в процессе создания и машинной реализации модели, возможно лишь в случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую формальную математическую схему, т. е. А-схему. Такая схема должна одновременно выполнять несколько функций: являться адекватным математическим описанием объекта моделирования, т. е. системы S, служить основой для построения алгоритмов и программ при машинной реализации модели М, позволять в упрощенном варианте (для частных случаев) проводить аналитические исследования.

Приведенные требования в определенной степени противоречивы. Тем не менее в рамках обобщенного подхода на основе А-схем удается найти между ними некоторый компромисс.

При агрегативном подходе сначала дается формальное определение объекта моделирования — агрегативной системы, которая является математической схемой, отображающей системный характер изучаемых объектов. При агрегативном описании сложный объект (система) разбивается на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. Процесс их разбиения продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, которые могут считаться удобными для математического описания. Т.о. сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

В качестве элемента А-схемы выступает агрегат, а связь между агрегатами (внутри системы S и с внешней средой Е) осуществляется с помощью оператора сопряжения R.

Любой агрегат характеризуется следующими множествами: моментов времени Т, входных X и выходных Y сигналов, состояний Z в каждый момент времени t. Состояние агрегата в момент времени t Î T обозначается как z (t)Î Z, а входные и выходные сигналы — как х (t)Î X и у (t)Î Y соответственно.

Переход агрегата из состояния z(t ₁) в состояние z (t ₂)≠z(t ₁) происходит за малый интервал времени, т. е. имеет место скачок δ z, который определяются собственными (внутренними) параметрами самого агрегата h (t)Î H и входными сигналами x (t)Î X.

В начальный момент времени t ₀ состояния z имеют значения, равные z ⁰, т.е. z ⁰ =z (t ₀), задаваемые законом распределения процесса L [ z (t ₀)]. Предположим, что процесс функционирования агрегата в случае воздействия входного сигнала х _n описывается случайным оператором V. Тогда в момент поступления в агрегат t_n Î T входного сигнала х _n можно определить состояние

z (t _n+0) = V [ t _n, z (t _n), x _n] (1)

Если интервал времени (t _n, t _n+1) не содержит ни одного момента поступления сигналов, то для t Î(t _n, t _n+1) состояние агрегата определяется случайным оператором U

z (t) = U [ t, t _n, z (t _n+0)] (2)

Совокупность случайных операторов V и U рассматривается как оператор переходов агрегата в новые состояния. При этом процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний δ z в моменты поступления входных сигналов х (оператор V) и изменений состояний между этими моментами t _n и t _n+1 (оператор U). На оператор U не накладывается никаких ограничений, поэтому допустимы скачки состояний bz в моменты времени, не являющиеся моментами поступления входных сигналов х. В дальнейшем моменты скачков δ z будем называть особыми моментами времени t _δ, а состояния z (t _δ) - особыми состояниями А-схемы. Для описания скачков состояний δ z в особые моменты времени t _δ будем использовать случайный оператор W, представляющий собой частный случай оператора U

z (t _δ+0) = W [ t _δ, z (t _δ)] (3)

В множестве состояний Z выделяется такое подмножество Z^(Y), что если z (t _δ) достигает Z^(Y), то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала

y = G [ t _δ, z (t _δ)] (4)

Таким образом, под агрегатом будем понимать любой объект, определяемый упорядоченной совокупностью рассмотренных множеств Τ, X, Y, Z, Z ^(Y), H и случайных операторов V, U, W, G.

Возможные приложения.

Существует класс больших систем, которые ввиду их сложности не могут быть формализованы в виде математических схем одиночных агрегатов, поэтому их формализуют некоторой конструкцией из отдельных агрегатов А _n, , которую назовем агрегативной системой или А-схемой. Для описания некоторой реальной системы S в виде А-схемы необходимо иметь описание как отдельных агрегатов А_п, так и связей между ними.

Рисунок 1 – Структура агрегативной системы

Для построения формального понятия А-схемы остается выбрать достаточно удобные способы математического описания взаимодействия между агрегатами. Для этого введем ряд предположений о закономерностях функционирования А-схем, хорошо согласующихся с опытом исследования реальных сложных систем: 1) взаимодействие между А-схемой и внешней средой Е, а также между отдельными агрегатами внутри системы S осуществляется при передаче сигналов, причем взаимные влияния, имеющие место вне механизма обмена сигналами, не учитываются; 2) для описания сигнала достаточно некоторого конечного набора характеристик; 3) элементарные сигналы мгновенно передаются в А-схеме независимо друг от друга по элементарным каналам; 4) к входному контакту любого элемента А-схемы подключается не более чем один элементарный канал, к выходному контакту - любое конечное число элементарных каналов при условии, что ко входу одного и того же элемента А -схемы направляется не более чем один из упомянутых элементарных каналов.

Взаимодействие А-схемы с внешней средой Е рассматривается как обмен сигналами между внешней средой Е и элементами А-схемы.

Можно ввести однозначный оператор с областью определения в множестве и областью значений в множестве , сопоставляющий входному контакту выходной контакт , связанный с ним элементарным каналом. Если в А-схеме к контакту не подключен никакой элементарный канал, то оператор R не определен на этом контакте . Оператор R называется оператором сопряжения элементов (агрегатов) в А-схему. Совокупность множеств , и оператор R образуют схему сопряжения элементов в систему S.

Схема сопряжения агрегата, определяемая оператором R, может быть использована для описания весьма широкого класса объектов. Однако взаимодействие элементов реальных систем даже в рамках механизма обмена сигналами не сводится к одному лишь сопряжению. Помимо сопряжения контактов серьезную роль играют также согласование совокупности элементарных сигналов, поступающих в элементарный канал от выходных контактов и воспринимаемых входными, а также влияние реальных средств передачи сигналов на их содержание. Кроме того, оказываются полезными некоторые дополнительные ограничения на структуру сопряжения агрегатов системы S с внешней средой Е. Поэтому с практической точки зрения представляет интерес понятие А-схемы как типовой математической, отражающей наши представления о взаимодействии реальных объектов в рамках механизмов обмена сигналами.

Таким образом, дальнейшее использование обобщенной типовой математической схемы моделирования, т. е. А-схемы, в принципе не отличается от рассмотренных ранее D -, F -, Р -, N -, Q-схем. Для частного случая, а именно для кусочно-линейных агрегатов, результаты могут быть получены аналитическим методом. В более сложных случаях, когда применение аналитических методов неэффективно или невозможно, прибегают к имитационному методу, причем представление объекта моделирования в виде А-схемы может являться тем фундаментом, на котором базируется построение имитационной системы и ее внешнего и внутреннего математического обеспечения. Стандартная форма представления исследуемого объекта в виде А-схемы приводит к унификации не только алгоритмов имитации, но и к возможности применять стандартные методы обработки и анализа результатов моделирования системы S.

Рассмотренные примеры использования типовых математических схем (D -, F -, Р -, Q -, N -, А-схем) позволяют формализовать достаточно широкий класс больших систем, с которыми приходится иметь дело в практике исследования и проектирования сложных систем.

Список использованной литературы.

Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Учеб. для вузов — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 343 с: ил.

Дата добавления: 2014-01-04