Безусловная и условная вероятности

Рассмотренная выше классическая вероятность события является безусловной вероятностью, хотя она и рассматривается для некоторого комплекса условий. Условная же вероятность кроме известного комплекса условий определяется дополнительным условием (или условиями).

Пример 17. Проводится испытание по бросанию кубика. Найти вероятность события А ₂ при условии, что событие В уже наступило: А ₂ = {Выпало два очка}, В = {Выпало четное число очков}.

Решение. Так как В произошло, то могли произойти три события А ₂ = {Выпало два очка}, А ₄ = {Выпало четыре очка}, А ₆ = {Выпало шесть очков}. Если событие В добавить к комплексу условий, то получится, что у данного испытания три элементарных исхода и один благоприятствующий событию А ₂ Þ Р(А ₂ ½ В) – вероятность события А ₂ при условии наступления В равна 1/3.

Определение 25. Условной вероятностью события А при условии события В (Р (В) ¹ 0) называют отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события В: Р (А | В) = Р (А Ç В) / Р (В).

Пример 18. Найти вероятность того, что в группе из 20 человек нет родившихся в один день при условии события В = {Все присутствующие родились в один месяц}.

Решение. Используем определение условной вероятности для нахождения Р (А | В), где А = {В группе из 20 человек нет родившихся в один день года}. А Ç В = {Все 20 человек родились в разные дни одного месяца}. Составим список присутствующих и каждому припишем его день рождения. Тогда: если в месяце N дней, то получим для него списков, благоприятствующих событию А Ç В; общее число элементарных исходов (списков) равно , т.е. могут встретиться люди, родившиеся в один день любого месяца. Следовательно: 20 человек могли родиться в любой месяц года, и эти случаи несовместимы, по аксиоме III имеем:

Р (А | В) = 0,000315951.

Определение 26. События А и В называют независимыми, если условная вероятность события А при условии В совпадает с безусловной вероятностью события А: Р (А | В) = Р(А).

Пример 19. Определить, являются ли указанные события независимыми: А = {Выпало простое число очков}, В = {Выпало нечетное число очков}.

Решение: Р (А | В) = события А и В не являются независимыми, т.е. они зависимые события.

Теорема 4. Если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А [Если Р (А | В) = Р (А), то Р (В | А) = Р (В)].

Теорема 5. Если событие А и В независимы, то независимы будут пары событий:

Дата добавления: 2014-01-04