Функции комплексного переменного и элементы высшей алгебры

§ 1 Комплексные числа и действия над ними

1.1 Понятие мнимой единицы и комплексные числа

= i – мнимая единица

bi– мнимые числа, где b = const ≠ 0

Применение мнимой единицы

С помощью мнимой единицы можно извлечь корни четной степени из отрицательного числа

Пример: = = ±3= ±3

Комплексным числом называется составное (сложное) число z = a + bi, где а – действительная часть, а b – мнимая.

Re Z = a – действительная часть

Im Z = b – мнимая часть

Z = a + bi -алгебраическая формула комплексного числа

Множество комплексных чисел – это объединение множества действительных и мнимых чисел.

§ 1.2 Степени мнимой единиццы

i¹ = i

i ² = - 1

i ³ = i²·i = -1i = -i

i= i²·i² = -1·(-1) = 1

i = i·i = 1i = i

i= i·i = i·i = i² = -1

i = i·i = -1·i = -i

i= i·i = -i·i = (-i)² = -1·(-1) =1

Видно, что степень мнимой единицы принимает всего четыре различных значения, поэтому при вычислении степени мнимой единицы юудем из показателя степни выбрасывать числа, кратные 4.

§ 1.3 Сложение и вычитание комплексных чисел.

z+z=?

z+z= () + () = + = (

Правило: для того, чтобы сложить два комплексных числав алгебраической форме, нужно сложить их действительные части и коэффициенты при мнимых единицах. Правило справедливо для любого числа слагаемых

Правило: для того, чтобы из одного комплексного числа вычесть другое комплексное число в алгебраической форме, можно найти разность их действительных частей и разность коэффициентов при мнимой единице.

§ 1.4 Умножение и деление комплексных чисел

()()=

Правило: при умножении двух комплексных чисел в алгебраической форме, нужно раскрыть скобки, т.е. выполнить умножение многочлена на многочлен, привести подобные и заменить i² на – 1. Можно умножать и несколько комплексных чисел.

Два комплексных числа называюься сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаком мнимой части.

()() =

Правило: произведение двух сопряженных чисел представляет собой сумму квадратов их действительной части и коэффициентов при мнимой единице.

Применение: можно разложить сумму квадратов на 2 множителя.

=()()

0

Правило: при делении двух комплексных чисел, знаменатель преобразуют таким образом, чтобы получить действительное число, т.е. домножают на сопряженное.

=

Re =

Im =

I

§ 1.5 Законы, которые имеют место для всех рассмотренных действий.

1. Коммутативный (переместительный)

2. Ассоциотивный

3. Дистрибутивный

§ 1.6 Геометрическая интерпритация комплексного числа

Любое комплексное число представляется геометричесмки точкой координатной плоскости XOY ри этом действительная чапсть комплексного числа откладывается по осо OX, а мнимая – по оси Oyежду множествомкомплексных чисел и множнством толчек плоскости XOY сущзествует взаимооднозначное соответствие.

y

M

b z

x

Если соединить точку, представляющую комплексное число с началом координат, то получим радиус – вектор, который также является геометрическим представлением комплексного числа на плоскости.

Пользуясь геометрическим представлением комплексного числа в векторной форме можно действия сложения и вычитания комплексных чисел производить геометрически, т.е. используя теорему векторов.

§ 1.7 Модуль и аргумент комплексного числа

Модулем комплексного числа называется длина радиус – вектора, который его изображает

│z │= ││ ==>

Угол, который образует радиус – вектор, изображающий комплексное число, с осью абсцисс, называется аргументом комплексного числа (Arg z)

Arg z имеет бесконечное множество значений, которые отличаются между собой числом полных оборотов. Среди этого множества выделяется главное значение аргумента, которое имеется в промежутке [-π; π]

Arg z [-π; π]

Частные случаи:

Arg z = arctg b/a; I, IV четверть =0,a<0, b<0

arctg b/a + π; IIч. = π,a=0, b=0

= - π/2, a=0, b<0

Arctg b/a - π; угол в III ч. =π/2,a=0,b>0

§ 1.8 Тригонометрическая форма комплексного числа

В полярной системе координат положения точкит M определяется ее расстоянием от полюса и углом θ, образованным лучом ОМ с полярной осью. θ считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Если начало декартовой прямоугольной системы координат совместить с полюсом, а ось OX направить по полярной оси, то прямоугольные координаты точки М(x; y) и ее полярные координаты М(ρ; θ) связаеы формулой:

М(x; y) x = ρ cos θ ρ =

М(ρ; θ) y = ρ sin θ tg θ = y/x

М

x

Z = r(cos φ + i sin φ) - тригонометрическая формула комплексного числа

Дата добавления: 2014-01-04