Случай известных вероятностей. Выбор в условиях риска

Случай известных вероятностей. Выбор в условиях риска

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Лекция №13

1.1. Функция полезности при наличии риска

1.2. Дерево решений

2. Энтропия системы. Принцип максимизации энтропии

Рассмотрим задачу выбора, когда решение может привести не к одному, а к нескольким результатам с разными вероятностями их осуществления. Если эти вероятности известны, то сложность задачи будет зависеть от количества показателей системы.

Рассмотрим процесс принятия решения в случае одного показателя. Определим, что будем понимать под термином «полезность», «функция полезности». В процессе выбора варианта решения часто необходимо учитывать индивидуальное отношение ЛПР к рассматриваемым показателям, и оценивать полезность ожидаемых результатов. Полезность, или показатель полезности – это число, приписываемое конкретному результату, например, рабочей характеристике или состоянию системы, и представляющее собой оценку значимости этого результата по восприятию определенного человека или группы людей.

Например, важными факторами являются финансовые затраты, экономический выигрыш, вес конструкции. При наличии единственного критерия и определенной связи между вариантами решения и значением этого критерия (целевой функции, или функции полезности) получаем задачу линейного (или нелинейного) программирования. В реальных задачах однозначно определить вид функции полезности часто не представляется возможным.

1.1. Функция полезности при наличии риска

Одним из важнейших факторов, учитываемых в процессе принятия решения, являются финансовые затраты. Выберем их в качестве показателя некоторой системы и сформулируем задачу выбора следующим образом: необходимо определить программу действий при наличии риска в расходовании средств, который обусловлен возможностью получения нескольких результатов при осуществлении принятого решения.

Пусть возможный диапазон затрат на осуществление программы составляет 2×10⁷ – 3×10⁷ ден.ед. Если целью использования является выбор программы с минимальными затратами, то наиболее желательному случаю будут соответствовать затраты, составляющие 2×10⁷ ден.ед., а наименее желательному – 3×10⁷ ден.ед.

Определим полезность решения для промежуточных затрат. Для этого применим следующий постулат:

если результат имеет осуществления , то полезность решения при наличии риска определяется средним значением полезности (математическим ожиданием):

где – полезность результата .

Рассмотрим ситуацию, когда надо выбрать из двух событий (это может быть, например, выбор между вариантами страховки или программами развития района), каждое из которых может привести к тем или иным затратам, величина которых носит вероятностный характер:

Если ЛПР не отдает предпочтения ни одному из двух событий, то это означает, что , где – средняя полезность события 1, а – средняя полезность результата 2.

Из этого условия можно определить полезность каждого из возможных результатов . Пусть, например, событие 1 представляет собой затраты либо в сумме 2×10⁷ ден. ед. с вероятностью , либо в сумме 3×10⁷ ден. ед. с вероятностью . Тогда

Так как и , получим .

Пусть событие 2 представляет собой затраты в 2,7×10⁷ ден.ед. с вероятностью 1, то

.

Условие отсутствия предпочтительности при выборе между событиями 1 и 2 записывается как .

Из этого следует, что если можно найти такое значение , при котором ЛПР не отдает предпочтения ни одному из событий 1 или 2, то можно сказать, что полезность затрат в 2,7×10⁷ ден.ед равна .

Однако соответствующая шкала фактической стоимости реализации программы не обязательно будет прямо пропорциональна расходам.

Предположим, например, что принятое решение с одинаковой 50-%-й вероятностью может потребовать затрат в 2×10⁷ ден.ед.. и в 3×10⁷ ден.ед.. Если средние значения полезностей двух решений равны и, следовательно, эти решения эквивалентны, то при линейной зависимости между полезностью и затратами приемлемое решение было бы связано с определенной суммой затрат равной 2,5×10⁷ ден.ед.., которая реализуется с вероятностью, равной 1. Однако, чтобы избежать максимальных затрат в сумме 3×10⁷ ден.ед.., вероятность которых составляет 50%, ЛПР, скорее согласится на строго установленные затраты в 2,7×10⁷ ден.ед.. Это характерно для лиц, не желающих рисковать и готовых уплатить несколько больше, чем приемлемо, чтобы избежать более нежелательного исхода.

Постулаты теории полезности. Рассмотренный выше метод основан на некоторых постулатах, которые можно назвать постулатами теории полезности. Для ряда вероятных событий они сводятся к следующим.

1) условие транзитивности: если (т.е. предпочтительнее, чем , и , то и если (т.е. эквивалентно ), и , то ;

2) случайное событие предпочтительнее других только в том случае, когда вероятность связанного с ним более желательного результата выше, чем вероятность менее желательного результата;

3) при выборе решения может быть учтен дополнительный риск; это относится, например, к ситуации, когда событие происходит с вероятностью , а с вероятностью происходит либо событие с вероятностью .

Другими словами,

эквивалентно

4) если событие по предпочтительности занимает промежуточное место между событиями и , то можно установить соотношение эквивалентности между событиями или ; это означает, что если , то существует такая вероятность при , что

.

На основе этих четырех постулатов для некоторой переменной может быть определена единственная функция полезности, которая должна удовлетворять следующим условиям:

если , то и , т.е. полезность события больше чем полезность события , когда предпочтительнее .

Дата добавления: 2014-01-04