Поняття n-вимірного вектора, лінійна залежність векторів

n - вимірним вектором називається впорядкований набір з n дійсних чисел . Числа, що складають цей набір, називаються координатами вектора. Введене поняття є узагальненням двох-, трьохвимірних векторів.

Операції над векторами здійснюються покоординатно.

1. Множення вектора на число : .

2. Сума векторів та : .

n - вимірним векторним простором називається множина всіх n -вимірних векторів з так введеними операціями над ними.

Підпростором простору називається підмножина множини , замкнена відносно вказаних операцій.

Лінійною комбінацією набору векторів називається n -вимірний вектор , що задається співвідношеннями: , – дійсні числа, при цьому кажуть, що вектор лінійно виражається через вектори набору (геометрично вектор розкладається за векторами ).

Набір векторів називається лінійно незалежним, якщо , та лінійно залежним, якщо , де не всі числа дорівнюють нулю.

Наслідок означення. Набір – лінійно залежний, якщо хоча б один з векторів набору є лінійною комбінацією інших, тобто розкладається за іншими.

Частинні випадки.

1. Набір з двох векторів – лінійно залежний .

2. У просторі вектори – лінійно незалежні (оскільки непаралельні), але для кожного вектора , отже набір – лінійно залежний.

3. У просторі вектори – лінійно незалежні, але для кожного вектора , отже, набір – лінійно залежний.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних наборів векторів.

1. Якщо набір векторів містить нульовий вектор, то цей набір – лінійно залежний.

2. Якщо набір векторів містить лінійно залежну підсистему, то весь набір – лінійно залежний.

3. Якщо набір векторів лінійно незалежний, то будь-яка його підсистема – лінійно незалежна.

На практиці для перевірки лінійної залежності або незалежності набору векторів використовують наступну схему, яку ми проілюструємо на прикладі.

Приклад 3. Перевірити лінійну залежність або незалежність набору векторів – параметр.

Користуючись означенням лінійної незалежності, слід розглянути наступну рівність та перевірити, чи може вона виконуватись при ненульових значеннях чисел . Якщо так, то вектори набору – лінійно залежні за означенням, інакше – лінійно незалежні. Запишемо дану рівність в координатах векторів:

.

Очевидно, отримали однорідну СЛР з невідомими , отже питання про лінійну залежність або незалежність набору векторів зводиться до питання, відповідно, невизначеності або визначеності однорідної СЛР (оскільки, якщо однорідна СЛР визначена, то вона має лише тривіальний – нульовий розв’язок, якщо невизначена, то крім тривіального має ще й інші розв’язки). З’ясуємо це питання, розв’язуючи систему за методом Гауса. Очевидно, для однорідної СЛР досить розглядати матрицю системи, а не розширену матрицю.

.

Як бачимо, стовпчики цієї матриці є векторами набору .

.

Виникають дві можливості:

1) якщо , то СЛР – невизначена, оскільки третю змінну можна вважати вільною, отже, набір векторів є лінійно залежним (зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 2);

2) якщо p =1, то СЛР – визначена, отже, набір векторів є лінійно незалежним (зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 3).

Зауваження. При дослідженні набору векторів на лінійну залежність або незалежність можна одразу виписувати матрицю, стовпчики якої складають вектори цього набору, вважаючи цю матрицю матрицею однорідної СЛР, після чого, користуючись методом Гауса, досить з’ясувати визначеність чи невизначеність цієї системи.

Дата добавления: 2014-01-04