Класифікація моделей та вимоги до них

Види

Фізичне моделювання, при якому модель і об'єкт, що моделюється, мають одну і ту ж фізичну природу.

Математичне моделювання — моделювання, при якому модель являє собою систему математичних співвідношень, що описують певні технологічні, економічні чи інші процеси. У гірничій справі найчастіше застосовуються два способи математичного моделювання:

· аналітичний, що передбачає можливість точного математичного опису строго детермінованих систем,

· ймовірнісний, що дозволяє отримати не однозначне рішення, а його імовірнісну характеристику (напр., параметрів шахти або яких-небудь параметрів технологічного процесу).

Математичне моделювання займає провідне місце в гірничоекономічному аналізі, а також широко застосовується для опису технологічних процесів, таких об'єктів як масив гірських порід, транспортна система тощо.

Особливості побудови математичних моделей Submitted by admincs on Wed, 06/30/2010 - 22:41

Для використання ЕОМ при рішенні прикладних задач перш за все прикладна задача повинна бути «переведена» на формальну математичну мову, тобто для реального об’єкта, процесу або системи повинна бути побудована його математична модель. Математичні моделі в кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об’єкта, процесу або системи, його параметри, внутрішні та зовнішні зв’язки. Для побудови математичної моделі необхідно:

1. ретельно проаналізувати реальний об’єкт або процес;

2. виділити його найбільш суттєві риси і властивості;

3. яких впливають на основні риси і властивості об’єкта;

4. описати залежність основних властивостей об’єкта, процесу або системи від значення змінних за допомогою логіко-математичних співвідношень (рівняння, рівності, нерівності, логіко-математичні конструкції);

5. виділити внутрішні зв’язки об’єкта, процесу або системи з допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій;

6. визначити зовнішні зв’язки і описати їх за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій.

Математичне моделювання, крім дослідження об’єкта, процесу або системи і складання їх математичного опису, також включає:

1. побудова алгоритму, що моделює поведінку об’єкта, процесу або системи;

2. перевірка адекватності моделі і об’єкта, процесу або системи на основі обчислювального і натурного експерименту;

3. коректування моделі;

4. використання моделі.

Математичний опис досліджуваних процесів і систем залежить від:

1. природи реального процесу або системи і складається на основі законів фізики, хімії, механіки, термодинаміки, гідродинаміки, електротехніки, теорії пластичності, теорії пружності і т.д.

2. необхідної достовірності та точності вивчення і дослідження реальних процесів і систем.

На етапі вибору математичної моделі встановлюються: лінійність і нелінійність об’єкта, процесу або системи, динамічність або статичність, стаціонарність або нестаціонарність, а також ступінь детермінованості досліджуваного об’єкта чи процесу. При математичному моделюванні свідомо відволікаються від конкретної фізичної природи об’єктів, процесів або систем і, в основному, зосереджуються на вивченні кількісних залежностей між величинами, що описують ці процеси.

Математична модель ніколи не буває цілком тотожна розглянутому об’єкту, процесу або системи. Заснована на спрощенні, ідеалізації вона є наближеним описом об’єкта. Тому результати, отримані при аналізі моделі, носять наближений характер. Їх точність визначається ступенем адекватності (відповідності) моделі і об’єкта.

Побудова математичної моделі звичайно починається з побудови та аналізу найпростішої, найбільш грубої математичної моделі розглянутого об’єкта, процесу або системи. Надалі, у разі необхідності, модель уточнюється, робиться її відповідність об’єкту більш повною.

Візьмемо простий приклад. Потрібно визначити площу поверхні письмового столу. Зазвичай для цього вимірюють його довжину і ширину, а потім перемножуються отримані числа. Така елементарна процедура фактично означає наступне: реальний об’єкт (поверхня столу) замінюється абстрактною математичною моделлю — прямокутником. Прямокутнику приписуються розміри, отримані в результаті вимірювання довжини і ширини поверхні столу, і площа такого прямокутника наближено приймається за шукану площу столу.

Однак модель прямокутника для письмового столу — це найпростіша, найбільш груба модель. При більш серйозному підході до задачі перш, ніж скористатися для визначення площі столу моделлю прямокутника, цю модель потрібно перевірити. Перевірки можна здійснити наступним чином: виміряти довжини протилежних боків столу, а також довжини його діагоналей та порівняти їх між собою. Якщо, з необхідним ступенем точності, довжини протилежних сторін і довжини діагоналей попарно рівні між собою, то поверхня столу дійсно можна розглядати як прямокутник. В іншому випадку модель прямокутника доведеться відкинути і замінити моделлю чотирикутника загального вигляду. При більш високих вимогах до точності може виникнути необхідність піти в уточненні моделі ще далі, наприклад, врахувати закруглення кутів столу.

За допомогою цього простого прикладу було показано, що математична модель не визначається однозначно досліджуваним об’єктом, процесом або системою. Для одного й того ж столу ми можемо прийняти або модель прямокутника, або більш складну модель чотирикутника загального вигляду, або чотирикутника із закругленими кутами. Вибір тієї чи іншої моделі визначається вимогою точності. З підвищенням точності модель доводиться ускладнювати, враховуючи нові і нові особливості об’єкту, що вивчається, процесу або системи.

Розглянемо інший приклад: дослідження руху кривошипно-шатунного механізму.

Для кінематичного аналізу цього механізму, перш за все, необхідно побудувати його кінематичну модель. Для цього:

1. Замінюємо механізм його кінематичною схемою, де всі ланки замінено жорсткими зв’язками;

2. Користуючись цією схемою, ми виводимо рівняння руху механізму;

3. Диференціюючи останнє, отримуємо рівняння швидкостей і прискорення, які представляють собою диференціальні рівняння 1-го і 2-го порядку.

Отримані трансцендентні рівняння представляють математичну модель руху плоского аксіального кривошипно-шатунного механізму, засновану на наступних спрощених припущеннях:

1. нас не цікавили конструктивні форми і розташування мас, що входять в механізм тіл, і всі тіла механізму ми замінили відрізками прямих. Насправді, всі ланки механізму мають масу і досить складну форму. Наприклад, шатун — це складне збірне з’єднання, форма і розміри якого, звичайно, будуть впливати на рух механізму;

2. при побудові математичної моделі руху розглянутого механізму ми також не враховували пружність тіл, що входять в механізм, тобто всі ланки розглядали як абстрактні абсолютно жорсткі тіла. Насправді ж, всі вхідні в механізм тіла — пружні тіла. Вони при русі механізму будуть якось деформуватися, в них можуть навіть виникнути пружні коливання. Це все, звичайно, також буде впливати на рух механізму;

3. ми не враховували похибку виготовлення ланок, зазори в кінематичних парах A, B, C і т.д.

Таким чином, важливо ще раз підкреслити, що, чим вище вимоги до точності результатів розв’язання задачі, тим більше необхідність враховувати при побудові математичної моделі особливостей об’єкту, що вивчається, процесу або системи. Однак, тут важливо вчасно зупинитися, тому що складна математична модель може перетворитися на важко розв’язуване завдання.

Найбільш просто будується модель, коли добре відомі закони, що визначають поведінку і властивості об’єкта, процесу або системи, і є великий практичний досвід їх застосування.

Більш складна ситуація виникає тоді, коли наші знання про об’єкт, що вивчається, процеси або системи недостатні. У цьому випадку при побудові математичної моделі доводиться робити додаткові припущення, які носять характер гіпотез, така модель називається гіпотетичною. Висновки, отримані в результаті дослідження такої гіпотетичної моделі, носять умовний характер. Для перевірки висновків необхідно зіставити результати дослідження моделі на ЕОМ з результатами натурного експерименту. Таким чином, питання застосовності деякої математичної моделі до вивчення даного об’єкта, процесу або системи не є математичним питанням і не може бути вирішене математичними методами.

Основним критерієм істинності є експеримент, практика в самому широкому сенсі цього слова.

Побудова математичної моделі в прикладних задачах — один з найбільш складних і відповідальних етапів роботи. Досвід показує, що в багатьох випадках правильно вибрати модель — означає вирішити проблему більш, ніж наполовину. Труднощі даного етапу полягають в тому, що він потребує поєднання математичних і спеціальних знань. Тому дуже важливо, щоб при вирішенні прикладних задач математики володіли спеціальними знаннями про об’єкт, а їх партнери, фахівці, — певної математичної культурою, досвідом дослідження в своїй області, знанням ЕОМ та програмування.

Дата добавления: 2014-01-04