Теорема Коши

Теорема Лагранжа

Если функция f: [ a, b ] → R непрерывна на сегменте [ a, b ] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f (b) - f (a) = f' (ξ)(b - a).

Если каждая из функций f и g непрерывна на [ a, b ] и имеет конечную или бесконечную производную на ] a, b [ и если, кроме того, производная g' (x) ≠ 0 на ] a, b [, то такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g (a) ≠ g (b), то условие g' (x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x → а, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Таким образом, если , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки, то

Примеры. Вычислить предел .

Решение.

Поскольку прямая подстановка приводит к неопределенности типа , применяем правило Лопиталя.

.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение

Пример 3.

Вычислить предел . Решение. Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . После простых преобразований, получаем

Дата добавления: 2014-01-04