Теорія одноресурсної фірми

Припустимо, що фірма виробляє один вид продукції в кількості , для чого використовується тільки один ресурс . Фірма цілком характеризується своєю виробничою функцією , що виражає залежність обсягу продукції, що випускається, від обсягу витраченого ресурсу .

Далі вважатимемо, що виробнича функція двічі диференційована й задовольняє дві умови.

Умова 1. В області визначення функції , яку називатимемо економічною областю , дана функція неспадна, тобто збільшення обсягу ресурсу не спричинює зменшення випуску продукції.

Математично це означає, що для двох довільних точок таких, що , виконується нерівність .

Отже, в області похідна невід’ємна, тобто Похідну називають граничним продуктом.

Умова 2. Існує підмножина економічної області така, що для всіх

Зупинимося на економічному змісті цих двох умов. Умова 1 стверджує, що виробнича функція – не якась абстрактна, вигадана математиком-теоретиком. Вона відображує економічно важливе й водночас тривіальне твердження: в розумній економіці збільшення витрат ресурсу не може спричинити зменшення випуску продукції.

Умову 2 в економіці називають законом спадної доходності: зі збільшенням обсягу ресурсу з деякого моменту (при вході в область )починає зменшуватися граничний продукт.

Розглянемо дії фірми. Нехай - ціна одиниці ресурсу, а - ціна одиниці продукції, що випускається. Отже, прибуток фірми є функцією від обсягу ресурсу (і цін, але вони вважаються сталими). Тоді

Розглянемо задачу фірми: потрібно знайти максимальне значення прибутку – функції за умови, що , тобто

(1)

Обчислимо похідну функції та прирівняємо її до нуля:

Звідки (2)

Очевидно, що обсяг ресурсу додатний, а отже, точка , що задається формулою (2), є точкою екстремуму. Оскільки ми припустили, що то це точка максимуму.

Точку , яка визначається зі співвідношення (2), називають оптимальним розв’язком задачі фірми.

Розглянемо економічний зміст співвідношення (2). Нагадаємо, що - граничний продукт, а - це вартість граничного продукту, додатково виробленого з одиниці ресурсу. Але вартість одиниці ресурсу дорівнює , тобто дістаємо рівновагу: можна залучити у виробництво додаткову одиницю ресурсу, витративши на її закупівлю грош. од., але в результаті виграшу не буде, оскільки після переробки ресурсу й реалізації продукції одержимо стільки ж грошей, скільки витратили на придбання одиниці ресурсу. Отже, оптимальна точка, що задається співвідношенням (2), є точкою рівноваги: вже неможливо вижати з ресурсів більше, ніж витрачено на їх закупівлю.

Очевидно, нарощування випуску продукції фірмою відбувалося поступово: спочатку вартість граничного продукту була вищою за закупівельну ціну ресурсів, що потрібні для його виробництва. Нарощування обсягу виробництва триває доти, доки починає виконуватися співвідношення (2): рівність вартості граничного продукту та закупівельної ціни ресурсу, потрібного для його виробництва.

За певних умов, накладених на виробничу функцію, оптимальний розв’язок задачі фірми, що визначається співвідношенням (2), єдиний для всіх і .

Приклад. Обсяг видобування щебеня (т/год) залежить від кількості праці (людино-год): . Ціна щебеня – 40 грн./ т, заробітна плата робітника – 30 грн./ год. Крім заробітної плати, інші витрати не враховуються. Знайдемо оптимальну кількість праці (кількість робітників).

За кількості робітників прибуток фірми

Отже,

Знайдемо похідну функції прибутку:

Та стаціонарні точки з умови: тобто , звідки = 16.

Знайдемо другу похідну:

Та її значення в стаціонарній точці :

Тому - точка максимуму.

Дата добавления: 2014-01-04