Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Напомним определение локального экстремума функции.

Определение Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство (), и точкой локального минимума, если .

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .

Теорема Если точка - это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо
1) , либо
2) производная не существует.

Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .

Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

Теорема. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x ₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x ₀). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x ₀ функция имеет максимум. Если же при переходе через x ₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

a. f '(x) >0 при x < x ₀ и f '(x)< 0 при x> x ₀, то x ₀ – точка максимума;

b. при x < x ₀ и f '(x)> 0 при x> x ₀, то x ₀ – точка минимума.

Дата добавления: 2014-01-04