Асимптоты графика функции

Условия существования

Точка перегиба.

Выпуклость функции и точки перегиба

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка

Другими словами, если для любых точек x₁ и x₂ отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого

.

График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вверх) на промежутке (a; b), если на этом промежутке график функции располагается ниже (или выше, соответственно) касательных, проведенных в любой точке этого промежутка (a; b). За исключением самой точки касания.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка называется точкой перегиба функции, если производная функция непрерывна в этой точке и является границей двух различных интервалов выпуклости (вверх и вниз).

В этом случае точка является точкой перегиба графика

функции, то есть график функции в точке «перегибается» через касательную к нему в этой точке: при касательная лежит под графиком, а при — над графиком (или наоборот)

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки, имеет в точку перегиба, то.

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция в некоторой окрестности точки раз непрерывно дифференцируема, причем нечётно и, и при, а, то функция имеет в точку перегиба.

Алгоритм нахождение точки перегиба:

1. Находим

2. Находим первую производную

3. Находим вторую производную

4. Найдем точки в которых вторая производная равно нулю

5. проверяем знак в полученных интервалах

6. Результаты исследования занесем в таблицу.

Таким образом, точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой. Для определения точек перегиба находят вторую производную.

В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует.
- если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз.
- если вторая производная отрицательная, то график функции выпуклый вверх.

Пример 2.: — кривая Гаусса.

1)

2) при — точки, подозрительные на перегиб.

Получаем интервалы выпуклости, вогнутости:

3) заполняем таблицу.

По результатам исследования можно построить график

Определение: Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается.

Асимптоты бывают вертикальные и наклонные(если к=0 горизонтальное).

Прямая х = х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х ₀ – 0) или f (х ₀ + 0) равен бесконечности.

Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х ₀, где х ₀ – точки, в которых функция не определена.

Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х ® +¥ или х ® –¥, если f (х) = kx + b + α(х),, то есть если наклонная асимптота для графика функции f (х) существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0 при х ® +¥ или при х ® – ¥.

Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда. Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы

.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

Дата добавления: 2014-01-04