Принципи побудови економетричних моделей

Парна лінійна регресія

6.1. Специфікація моделі

Економетрична модель базується на єдності двох аспектів: теоретичного, якісного аналізу взаємозв’язків та емпіричної інформації.

Теоретична інформація знаходить своє відображення в специфікації моделі. Специфікації моделі – це аналітична форма економетричної моделі. На основі досліджуваних факторів вона складається з певного виду функції чи функцій, що використовуються для побудови моделей, та має ймовірнісні характеристики.

З досвіду економетричних досліджень, а також на підставі аналізу взаємозв’язків між економетричними показниками, можна навести деякі функції, які найчастіше використовуються:

1) лінійна ;

2) степенева ;

3) гіпербола ;

4) показникова ;

5) квадратична .

Вибір аналітичної форми економетричної моделі, не може розглядатися без переліку конкретних факторів, тобто специфікація моделі передбачає відбір факторів, для економетричного моделювання.

В процесі такого дослідження можна декілька разів повертатися до етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік факторів, які використовуються, та вид залежності, коли вид функції та її складові не відповідають реальним процесам то йдеться про помилки специфікації.

Види помилок специфікації:

1) ігнорування при побудові економетричної моделі і кожного фактора;

2) введення в модель фактора, який є не істотним вимірюваного зв’язку;

3) використання невідповідних форм залежності.

Питання про вибір найкращої форми залежності має базуватися на перевірці ступеня узгодженості виду функції з вхідними даними спостережень. Адекватність побудованої моделі можна встановити аналізуючи залишки.

6.2. Загальний вигляд лінійної економетричної моделі. Оцінка параметрів лінійної моделі за допомогою методів найменших квадратів (МНК)

Прості парні лінійні регресійні моделі встановлюють лінійну залежність між двома змінними (наприклад між витратами на відпустку та складом родини).

При цьому одна із змінних, вважається залежною змінною (у), та розглядається як функція від незалежної змінної (х). В загальному вигляді лінійну парну модель можна подати у вигляді:

(6.1)

Припустимо, що необхідно кількісно оцінити зв’язок між витратами на споживання та доходами сім’ї. Щоб оцінити параметри моделі (6.1) необхідно сформувати сукупність спостережень, кожна одиниця якої буде характеризуватися витратами на споживання та доходами сім’ї.

Припустимо також, що економетрична модель будується для тієї групи людей, у якій, зі збільшенням доходів, зростають витрати на споживання. Тобто модель має вигляд (6.1). Зобразимо кожну пару спостережень у системі координат, де величина витрат на споживання відкладається на осі у, а доходів на осі х. Отримаємо кореляційне поле точок.

Рис. 6.1. Кореляційне поле точок

На підставі гіпотези про лінійність зв’язку через кореляційне поле точок можна провести безліч прямих, які будуть відрізнятися параметрами а_о і а₁. Якщо витрати на споживання будуть описуватись прямою І, то відхилення їх фактичних значень від теоретичних матимуть переважно знак «-». Якщо вони будуть описуватись прямою ІІІ, то ці відхилення будуть переважно додатними. У випадку, коли ці відхилення будуть описуватися прямою ІІ, то кількість від’ємних і додатних значень буде приблизно однаковою.

Наявність серед відхилень переважно додатних або від’ємних значень – свідчить про їх невипадковий характер, неадекватно описує залежність між витратами на споживання і доходами сімей. А це означає, що певна пряма лінія неадекватно описує фактичну залежність між витратами на споживання і доходами сімей.

Необхідно провести пряму таким чином, щоб сума квадратів відхилень була мінімальна. В цьому полягає суть методу найменших квадратів (МНК). Це означає, що розрахункові значення максимально наближені до фактично, що є гарантією достовірності моделі.

Розглянемо графічну інтерпретацію:

Рис. 6.2. Регресійна модель

Математично

. (6.2)

де - параметри прямої.

Зауважимо, що МНК можна застосувати лише тоді, коли залишки розподілені нормально, тобто середнє їх значення дорівнює нулю і дисперсія – константа.

Необхідною умовою існування мінімуму є рівність нулю часткових похідних функціоналу Q по

. (6.3)

Розкриємо дужки і отримаємо систему нормальних рівнянь

. (6.4)

Розв’язавши цю систему відносно невідомих оцінок параметрів а₀, а₁ отримаємо єдиний розв’язок.

Зазначимо, що регресійна пряма проходить через середню точку:

,

де , . (6.5)

Дата добавления: 2014-01-04