Многочлени з дійсними коефіцієнтами

Розглянемо деякі наслідки з основної теореми алгебри, які стосуються многочленів з дійсними коефіцієнтами. Саме на цих наслідках базується виключно важливе значення основної теореми, про яке говорилося раніше.

Нехай многочлен з дійсними коефіцієнтами

має комплексний корінь , тобто

.

Остання рівність не порушиться, якщо число замінити на спряжене :

.

Таким чином, якщо комплексне (але не дійсне) число є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами, то коренем для буде і спряжене число .

Звідси випливає, що многочлен буде ділитися на добуток лінійних множників, які відповідають цим кореням. Знайдемо цей добуток:

,

де , – дійсні числа.

Таким чином, добуток лінійних множників, які відповідають взаємно спряженим комплексним кореням, можна замінити квадратним тричленом з дійсними коефіцієнтами і з від’ємним дискримінантом.

Звідси і з теореми про розклад многочлена на лінійні множники випливає

Теорема (про розклад многочлена з дійсними коефіцієнтами на множники). Всякий многочлен -го степеня з дійсними коефіцієнтами можна подати у вигляді добутку свого старшого коефіцієнта і декількох многочленів з дійсними коефіцієнтами, лінійних виду , які відповідають його дійсним кореням, і квадратних виду , які відповідають парам комплексно спряжених коренів:

(3)

де , – кратності дійсних коренів многочлена, , – кратності комплексно спряжених коренів, – сталі, , , , – дійсні числа, причому . Розклад (3) є для многочлена єдиним з точністю до перестановки множників.

Дата добавления: 2014-01-04