Інтегрування елементарних раціональних дробів

Нехай треба знайти інтеграл (). Його можна подати як суму інтегралів:

,

Інтеграл від многочлена обчислюється безпосередньо, а інтеграл від правильного раціонального дробу зводиться за теоремою про розкладання правильного раціонального дробу на елементарні до суми інтегралів від елементарних раціональних функцій. Розглянемо інтеграли від елементарних раціональних дробів.

1) Інтегрування елементарних раціональних дробів виду 1:

2) Інтегрування елементарних раціональних дробів виду 2:

3) Інтегрування елементарних раціональних дробів виду 3:

4) Інтегрування елементарних раціональних дробів виду 4:

Інтеграл обчислюється безпосередньо:

Інтеграл обчислюється за допомогою рекурентної формули:

яка приводить до відомого інтеграла

.

З вище викладеного випливає, що інтеграл від будь-якого раціонального дробу може бути виражений через елементарні функції, а саме:

1) через логарифми – у випадку елементарних дробів виду 1;

2) через раціональні функції – у випадку елементарних дробів виду 2;

3) через логарифми і арктангенси – у випадку елементарних дробів виду 3;

4) через раціональні функції і арктангенси – у випадку елементарних дробів виду 4.

Дата добавления: 2014-01-04