Выражение с переменной, его область определения. Тождество

Записи 2 а + 8, 3 а + 5 b, а ⁴ – bс называют выражениями с переменными. Поставляя вместо букв числа, получим числовые выражения. Общее понятие выражения с переменными определяется точно так же, как и понятие числового выражения, только, кроме чисел, выражения с переменными могут содержать и буквы.

Для выражений с переменной тоже применяются упрощения: не ставят скобок, содержащих лишь число или букву, не ставят знака умножения между буквами, между числами и буквами и т.д.

Различают выражения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными. Обозначают А (х), В (х, у) и т.д.

Выражение с переменной нельзя назвать ни высказыванием, ни предикатом. Например, о выражении 2 а + 5 нельзя сказать, истинно оно или ложно, следовательно, высказыванием оно не является. Если вместо переменной а подставить числа, то получим различные числовые выражения, которые тоже высказываниями не являются, следовательно, данное выражение предикатом тоже не является.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения.

Пример. 8: (4 – х) – область определения R \{4}, т.к. при х = 4 выражение 8: (4 – 4) не имеет смысла.

Если выражение содержит несколько переменных, например, х и у, то под областью определения этого выражения понимают множество пар чисел (а; b) таких, что при замене х на а и у на b получается числовое выражение, имеющее значение.

Пример., область определения множество пар (а; b) │ а ≥ b.

Определение. Два выражения с переменной называются тождественно равными, если при любых значения. Переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Т.о. два выражения А (х), В (х) тождественно равны на множестве Х, если

1) множества допустимых значений переменной в этих выражениях совпадают;

2) для любого х ₀ их множества допустимых значений, значения выражений при х ₀ совпадают, т.е. А (х ₀) = В (х ₀) – верное числовое равенство.

Пример. (2 х + 5)² и 4 х ² + 20 х + 25 – тождественно равные выражения.

Обозначают А (х) º В (х). Заметим, что если два выражения тождественно равны на каком-то множестве Е, то они тождественно равны и на любом подмножестве Е ₁ Ì Е. Также следует отметить, что утверждение о тождественном равенстве двух выражений с переменной является высказыванием.

Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Тождествами считают и верные числовые равенства. Тожествами являются законы сложения и умножения действительных чисел, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, правила деления суммы на число и др. Тождествами также являются правила действий с нулем и единицей.

Замена выражения другим, тожественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения.

Пример. 7 х + 2 + 3 х = 10 х + 2 - тождественное преобразование, не является тождественным преобразованием на R.

§ 5. Классификация выражений с переменной

1) Выражение, составленное из переменных и чисел с помощью только операций сложения, вычитания, умножения, возведения в степень, называется целым выражением или многочленом.

Пример. (3 х ² + 5) ∙ (2 х – 3 у)

2) Рациональным называется выражение, построенное из переменных и чисел с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Рациональное выражение можно представить в виде отношения двух целых выражений, т.е. многочленов. Заметим, что целые выражения являются частным случаем рациональных.

Пример..

3) Иррациональным называется выражение, построенное из переменных и чисел с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, а также операциии извлечения корня п -ой степени.

Пример..

Дата добавления: 2014-01-04