Реакция цепи на медленно изменяющееся воздействие

Считаем, что у некоторой цепи известна переходная характеристика h ₁(t), для которой h ₁(0) = 0, что является определенным ограничением расчета. Импульсная характеристика h ₁’(t) = h (t), связана с передаточной функцией цепи соотношением, которое можно записать в виде

≓.

Воздействуем на вход цепи медленно изменяющимся напряжением u_вх (t) и запишем выражение для выходного сигнала напряжения с помощью интеграла свертки:

,

причем можно записать

. (7.5.2)

Первое слагаемое правой части (7.5.2) соответствует установившемуся режиму, второе слагаемое обусловлено переходным процессом, имеющим место в интервале от момента времени t, в который определяем отклик, до t = ∞.

В тех случаях, когда, благодаря медленному изменению u_вх (t), второе слагаемое достаточно мало, можно приближенно считать

. (7.5.3)

Соотношение (7.5.3) приближенно выполняется при двух допущениях:

1) если представить , то , где b_k – наименьший по модулю действительный корень характеристического уравнения цепи M (p) = 0 (или модуль наименьшей действительной части при комплексных корнях);

2) u_вых определяем для t > 2| b_k |.

Эти допущения соответствуют очевидному предположению о том, что «условные постоянные времени воздействия» больше максимальной постоянной времени цепи .

Разложим в ряд Тейлора u_вх (t - τ) относительно времени t

(7.5.4)

Подставим (7.5.4) в (7.5.3):

Но определяется по переходной характеристике цепи. Дифференцируя по параметру s, заменяя t на τ и придавая s значение нуль, получаем соотношения:

; …

Таким образом, выходной сигнал при медленно изменяющемся входном можно найти по следующей приближенной формуле (с учетом h ₁(0) = 0):

Дата добавления: 2014-01-04