Симметричные двойственные задачи

Задача об использовании сырья [4, стр.4, 38].

Из сырья I и II (например: мука и вода), запасы которого ограничены и составляют 60 и 45 единиц соответственно, изготавливается продукция 3-х видов. На производство единицы продукции 1 го вида затрачивается 4 ед. сырья I и 2 ед. сырья II; 2 го вида – 2 и 6 соответственно, а 3 го вида – 6 и 4 ед. Выручка от производства единицы продукции каждого вида составляет соответственно 12 руб., 15руб., 19руб. Надо найти такой план выпуска продукции, при котором сырье не будет перерасходовано, а суммарная выручка будет наибольшей.

Сырье	Затраты сырья на единицу продукции вида	Запасы сырья
I
II
Выручка за ед. продукции (руб)

Пусть:

x₁ – количество единиц выпущенной продукции 1-го вида;

x₂ – количество единиц выпущенной продукции 2-го вида;

x₃ – количество единиц выпущенной продукции 3-го вида.

Тогда можно записать:

Вводим искусственный базис

Исходная таблица

В	Св. член	Коэффициент при неизвестных
		-12	-15	-19

Итерация 1

В	Св. член	Коэффициент при неизвестных
			1/2	3/2	1/4
					- 1/2
			- 9	- 1

Итерация 2

В	Св. член	Коэффициент при неизвестных
	27/2			7/5	3/10	-1/10
				1/5	-1/10	1/5
				4/5	21/10	9/5

Ответ:= 13,5 единиц

= 3 единицы

руб.

Для получения максимальной выручки 207 руб., надо выпустить 13,5 ед. продукции 1-го вида и 3 ед. 2-го вида, значение= 0 означает, что продукцию 3-го вида выпускать не следует.

Поставим своей целью назначить «справедливые» продажные цены на оба сырья. Пусть, например, - цена единицы I-го сырья, цена единицы II-го сырья. Тогда стоимость всего сырья. Общая задача ЛП имеет вид:

Любое решение задачи (2) называется планом оценок ресурсов, а оптимальный план – оптимальные оценки. Разумеется, оптимальные оценки ресурсов, определенные в условиях данной задачи имеют относительный смысл. В условиях другой задачи те же ресурсы могут иметь другие оценки.

.

Или после тождественных преобразований (вычитаем из третьего уравнения первое и второе и меняем знаки) система примет следующий вид:

Формулируем задачу минимизации:

Исходная таблица

0 0 0 0 0 0 1

В	Св. член	Коэффициент при неизвестных
↓
						-1
⟶0			-2			-1
						-1
						-1

Итерация 1

В	Св. член	Коэффициент при неизвестных
				↓
					-1/2	-1/2
			-1/2		1/4	-1/4
					-3/2	1/2
					-3/2	1/2

Итерация 2

В	Св. член	Коэффициент при неизвестных
					-2
	15/2				-2/4		1/2
					-3
							-1

Исходная таблица

В	Св. член	Коэффициент при неизвестных
	↓
	7,5				-1/2
					-2
					-3
					-30

Итерация 1

В	Св. член	Коэффициент при неизвестных
	2,1
	1,8			1/10	-2/10
	0,8
				-13,5	-3

Ответ:= 2,1 руб.;= 1,8 руб. – оптимальные оценки ресурсов. =, =0,8 руб.

Вывод: Для получения «справедливой» продажной стоимости сырья надо назначить цены за единицу I сырья – 2,1 руб.; за единицу II сырья – 1,8 руб. Равенства = означает, что продажная стоимость сырья равна выручке от продажи единицы продукции 1 и 2 видов; = 0,8 руб. означает, что продажная стоимость сырья на изготовление единицы продукции 3-го вида на 0,8 руб. больше выручки. Минимальная продажная стоимость всего сырья в задаче (2) = максимуму выручки в задаче (1).

Дата добавления: 2014-01-04