Несимметричные двойственные задачи

Рассмотрение таких задач часто полезно в ЛП. Причём эти задачи сводятся к симметричным. Задача I – основная задача ЛП, задача II задача минимизации, но во II задаче могут быть любого знака.

Сведение осуществляется следующим образом. Как известно, равенство равносильно паре неравенств; или. В задаче I каждое уравнение заменяется парой неравенств такого рода. Тогда задача I будет задачей максимизации с «n» переменными и «2m» неравенствами. Затем выписываем симметричную ей двойственную задачу. Например, дано:

Задача I	Задача II
при условиях: Ответ: (2,3,0,0)	при условиях: – любого знака Ответ: (-1,-2),

Сведем к паре симметричных двойственных задач ЛП

Задача I

Задача II

при условиях:

при условиях: Геометрическая интерпретация и графический способ решения задачи квадратичного программирования Дана задача квадратичного программирования (9.35) Линейная система ограничений описывает некоторую выпуклую многоугольную область на плоскости (. Множество всех точек X(,), в которых целевая квадратичная функция принимает заданное значение, лежит на линии уровня данной функции. Эти линии являются кривыми, обрауземыми при пересечении поверхности (9.35) с плоскостью. Форма этих кривых зависит от вида квадратичной функции. Рассмотрим простейшие случаи: 1. В этом случае линии уровня являются концентрическими окружностями. Чтобы определить центр этих окружностей, необходимо привести квадратичную функцию к виду Пример. Найти минимум и максимум функции при условиях: Решение. Приведём уравнение квадратичной функции к каноническому виду Целевая функция представляет семейство концентрических окружностей с центром в точке

Рис. 9.1 Графическое решение задачи квадратичного программирования. Линии уровня – окружности.

Построим область допустимых решений. Минимальное значение соответствует наименьшему радиусу окружности и достигается в точке, в которой окружность касается многоугольника О AB. Это точка А (0,1). Максимальное значение соответствует наибольшему радиусу и достигается в наиболее удаленной от точки вершине многоугольника O AB. Это точка B(1,0). Следовательно,

В этом случае линии уровня являются эллипсами с центрами в точке и канонический вид квадратичной функции будет

При этом полуоси эллипса соотносятся как

Пример. Ре шить задачу методом наискорейшего спуска.

Решение. В качестве исходного приближения берем точку. Вычисляем уклонения точки.

Для нахождения направления спуска ищем частные производные функции в точке:

При этом

Решая задачу линейного программирования

получим

Новое приближение:

Величина шага

- наименьшее положительное число среди отношений

Следовательно

Отсюда

Вычисляем координаты точки

Определяем уклонения точки.

Для нахождения направления спуска решаем задачу линейного программирования:

Решением будут значения При этом

Новое приближение:

Определим величину шага

при условиях:

(6.2)

(6.3)

или краткой форме:

заданные постоянные.