Теорема

Если ряд (5) сходится при , то непрерывна слева в точке [непрерывна справа в точке ]:

.

4. Почленное дифференцирование степенного ряда.

Теорема.

Сумма ряда (5) является дифференцируемой функцией на интервале сходимости , причем

(10)

и радиус сходимости остается равным .

5. Почленное интегрирование степенного ряда.

Теорема.

Сумма ряда (5) является интегрируемой функцией на любом отрезке интервале сходимости , причем

(11)

и радиус сходимости остается равным .

Замечание 6. В результате дифференцирования и интегрирования опять получаются степенные ряды. К ним применимы указанные свойства. Следовательно, почленное дифференцирование и интегрирование можно проводить любое число раз.

Пример.

1. Найти сумму ряда

в интервале сходимости .

Рассмотрим

Это сумма геометрической прогрессии с , , которая сходится при и

Тогда

.

2. 2. Найти сумму ряда

при .

Полученный ряд – сумма геометрической прогрессии с , , которая сходится при и

Тогда

Дата добавления: 2014-01-04